数学2 コーシー・シュワルツの不等式 問題 4 解説

方針・初手

(1) は適当な項の組み合わせでくくり出しを行うことで共通因数を見つける。

(2) は不等式の証明の基本である「（左辺）ー（右辺）」を計算し、(1) の結果を利用して0以上であることを示す。

(3) も (2) と同様に「（左辺）ー（右辺）」を計算し、項をうまく並べ替えることで (1) の形を作り出す。

解法1

(1)

与えられた式を前2項と後ろ2項に分け、それぞれ $a^2$ と $b^2$ でくくる。

$$a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 = a^2(a-b) - b^2(a-b)$$

共通因数 $a-b$ でくくる。

$$(a^2-b^2)(a-b)$$

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いてさらに因数分解する。

$$(a+b)(a-b)(a-b) = (a+b)(a-b)^2$$

(2)

（左辺）ー（右辺）を計算する。

$$\begin{aligned} 2(a^3+b^3) - (a+b)(a^2+b^2) &= 2a^3 + 2b^3 - (a^3 + ab^2 + a^2b + b^3) \\ &= a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \end{aligned}$$

(1) の結果より、

$$2(a^3+b^3) - (a+b)(a^2+b^2) = (a+b)(a-b)^2$$

条件 $a \geqq 0, b \geqq 0$ より $a+b \geqq 0$ である。また、実数の2乗は0以上であるから $(a-b)^2 \geqq 0$ である。 したがって、

$$(a+b)(a-b)^2 \geqq 0$$

ゆえに、

$$2(a^3+b^3) \geqq (a+b)(a^2+b^2)$$

が成り立つ。

(3)

（左辺）ー（右辺）を計算する。

$$\begin{aligned} &3(a^3+b^3+c^3) - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \\ &= 3a^3+3b^3+3c^3 - (a^3+ab^2+ac^2+a^2b+b^3+bc^2+ca^2+cb^2+c^3) \\ &= 2a^3+2b^3+2c^3 - a^2b - ab^2 - b^2c - bc^2 - c^2a - ca^2 \end{aligned}$$

この式を2文字ずつの組み合わせになるように分ける。

$$\begin{aligned} &2a^3+2b^3+2c^3 - a^2b - ab^2 - b^2c - bc^2 - c^2a - ca^2 \\ &= (a^3 - a^2b - ab^2 + b^3) + (b^3 - b^2c - bc^2 + c^3) + (c^3 - c^2a - ca^2 + a^3) \end{aligned}$$

(1) の結果を用いると、

$$(a+b)(a-b)^2 + (b+c)(b-c)^2 + (c+a)(c-a)^2$$

となる。条件 $a \geqq 0, b \geqq 0, c \geqq 0$ より、

$$a+b \geqq 0, \quad b+c \geqq 0, \quad c+a \geqq 0$$

であり、また実数の平方について、

$$(a-b)^2 \geqq 0, \quad (b-c)^2 \geqq 0, \quad (c-a)^2 \geqq 0$$

である。したがって、各項はすべて0以上となるから、

$$(a+b)(a-b)^2 + (b+c)(b-c)^2 + (c+a)(c-a)^2 \geqq 0$$

ゆえに、

$$3(a^3+b^3+c^3) \geqq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$

が成り立つ。

解説

前問の結果を利用して次の問題を解くという典型的な誘導問題である。(1) の因数分解は、一部分をまとめることで共通因数が見つかる基本的な手法を用いている。(2) と (3) の不等式の証明は、大小比較の定石である「差をとって0以上を示す」方針に従えば、自然と (1) の形が現れるように作られている。(3) では、展開したあとに項を適切に組み合わせられるかが鍵となる。

答え

(1) $(a+b)(a-b)^2$

(2) $2(a^3+b^3) \geqq (a+b)(a^2+b^2)$ が成り立つことが示された。

(3) $3(a^3+b^3+c^3) \geqq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ が成り立つことが示された。