数学2 コーシー・シュワルツの不等式 問題 6 解説

方針・初手

和が一定のとき，2乗和の最小値は各変数が等しいときに生じる。このことを，差の2乗の和が常に $0$ 以上であることを用いて示す。

具体的には，（1） では $(x-y)^2\geq 0$，（2） では $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$，（3） では一般に $\sum_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2\geq 0$ を用いるのが自然である。

解法1

(1)

$(x-y)^2\geq 0$ より，

$$ x^2-2xy+y^2\geq 0 $$

である。したがって，

$$ 2x^2+2y^2\geq x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $$

を得る。ここで $x+y=1$ であるから，

$$ 2(x^2+y^2)\geq 1 $$

すなわち，

$$ x^2+y^2\geq \frac{1}{2} $$

が成り立つ。

等号成立条件は，$(x-y)^2=0$，すなわち $x=y$ のときである。さらに $x+y=1$ であるから，

$$ x=y=\frac{1}{2} $$

のときに等号が成り立つ。

(2)

次を考える。

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0 $$

これを展開すると，

$$ 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)\geq 0 $$

よって，

$$ x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx $$

である。一方，

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) $$

であるから，上の不等式より

$$ (x+y+z)^2\leq x^2+y^2+z^2+2(x^2+y^2+z^2) =3(x^2+y^2+z^2) $$

を得る。ここで $x+y+z=1$ であるから，

$$ 1\leq 3(x^2+y^2+z^2) $$

すなわち，

$$ x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3} $$

が成り立つ。

等号が成り立つためには，

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0 $$

でなければならない。各項は $0$ 以上なので，これは

$$ x=y,\quad y=z,\quad z=x $$

すなわち $x=y=z$ と同値である。さらに $x+y+z=1$ より，

$$ x=y=z=\frac{1}{3} $$

のときに等号が成り立つ。

(3)

一般に

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2\geq 0 $$

である。左辺を展開すると，

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2 =\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i^2-2x_ix_j+x_j^2) $$

であり，各 $x_k^2$ は $(n-1)$ 回ずつ現れるから，

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2 =(n-1)\sum_{k=1}^n x_k^2-2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j $$

となる。一方，

$$ \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 =\sum_{k=1}^n x_k^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j $$

であるから，

$$ 2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j =\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2-\sum_{k=1}^n x_k^2 $$

を上式に代入して，

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2 =n\sum_{k=1}^n x_k^2-\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 $$

を得る。よって，

$$ n\sum_{k=1}^n x_k^2-\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\geq 0 $$

すなわち，

$$ n\sum_{k=1}^n x_k^2\geq \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 $$

である。ここで $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ だから，

$$ n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geq 1 $$

したがって，

$$ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\geq \frac{1}{n} $$

が成り立つ。

等号が成り立つためには，

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2=0 $$

でなければならない。各項は $0$ 以上なので，これはすべての $i,j$ に対して $x_i=x_j$，すなわち

$$ x_1=x_2=\cdots=x_n $$

と同値である。さらに $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ より，

$$ x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{1}{n} $$

のときに等号が成り立つ。

解説

本問の本質は，「和が一定なら，2乗和は各数ができるだけ等しいときに最小になる」という事実である。

（1），（2） では差の2乗を直接用いればよい。（3） ではその一般形として，差の2乗の総和

$$ \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2 $$

を考えると一気に処理できる。

等号成立条件も同じ構造であり，差の2乗がすべて $0$ になること，すなわちすべての変数が等しいことに対応する。

答え

(1)

$$ x^2+y^2\geq \frac{1}{2} $$

等号成立は

$$ x=y=\frac{1}{2} $$

のときである。

(2)

$$ x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3} $$

等号成立は

$$ x=y=z=\frac{1}{3} $$

のときである。

(3)

$$ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\geq \frac{1}{n} $$

等号成立は

$$ x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{1}{n} $$

のときである。