数学2 コーシー・シュワルツの不等式 問題 7 解説

方針・初手

$2x+y+2z$ はベクトル $(x,y,z)$ と $(2,1,2)$ の内積とみなせる。 一方，条件 $x^2+y^2+z^2=18$ は $(x,y,z)$ の長さが一定であることを表す。

したがって，内積の最小値はコーシー・シュワルツの不等式を用いて求めるのが自然である。

解法1

$$ 2x+y+2z=(x,y,z)\cdot(2,1,2) $$

である。

ここで，コーシー・シュワルツの不等式より

$$ |2x+y+2z| \leqq \sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{2^2+1^2+2^2} $$

であるから，

$$ |2x+y+2z| \leqq \sqrt{18}\sqrt{9} =3\sqrt{2}\cdot 3 =9\sqrt{2} $$

となる。よって

$$ 2x+y+2z\geqq -9\sqrt{2} $$

であり，最小値は $-9\sqrt{2}$ である。

このとき等号成立条件は，$(x,y,z)$ と $(2,1,2)$ が反対向きに平行であること，すなわち

$$ (x,y,z)=k(2,1,2) $$

ただし $k<0$ である。

これを条件 $x^2+y^2+z^2=18$ に代入すると，

$$ (2k)^2+k^2+(2k)^2=18 $$

より

$$ 9k^2=18 $$

したがって

$$ k^2=2 $$

であり，$k<0$ より

$$ k=-\sqrt{2} $$

となる。

したがって

$$ (x,y,z)=(-2\sqrt{2},-\sqrt{2},-2\sqrt{2}) $$

である。

解説

この問題は「長さが一定のベクトルに対して，ある一次式の最大・最小を求める」典型問題である。 一次式を内積とみると，コーシー・シュワルツの不等式で一気に処理できる。

最小値をとるのは，$(x,y,z)$ が係数ベクトル $(2,1,2)$ と反対向きになるときである。この向きの判断を落とさないことが重要である。

答え

$(x,y,z)=(-2\sqrt{2},-\sqrt{2},-2\sqrt{2})$ である。