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数学2 コーシー・シュワルツの不等式問題 8 解説

方針・初手

不等式の証明の基本である「(左辺) - (右辺) $\geqq 0$」を示す方針をとる。展開して整理すると2次式の和の形になるため、組み合わせを工夫して $(\text{実数})^2 \geqq 0$ の形を作り出す。また、ベクトルを用いたコーシー・シュワルツの不等式を利用すると簡潔に証明できる。

解法1

(1)

不等式の左辺から右辺を引いた式を計算する。

$$\begin{aligned} & 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 \\ &= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \\ &= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \\ &= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \\ &= (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \end{aligned}$$

$a, b, c$ は実数であるから、$(a-b)^2 \geqq 0$、$(b-c)^2 \geqq 0$、$(c-a)^2 \geqq 0$ が成り立つ。したがって、

$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geqq 0$$

となるため、

$$3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 \geqq 0$$

すなわち、

$$3(a^2 + b^2 + c^2) \geqq (a+b+c)^2$$

が成り立つ。

(2)

(1) の不等式において等号が成立するのは、

$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$$

のときである。各項は $0$ 以上であるため、これを満たすのは、

$$a-b = 0 \quad \text{かつ} \quad b-c = 0 \quad \text{かつ} \quad c-a = 0$$

のときである。したがって、求める必要十分条件は

$$a = b = c$$

である。

解法2

(1)

空間ベクトル $\vec{x} = (a, b, c)$ と $\vec{y} = (1, 1, 1)$ について、内積と大きさの関係を表すコーシー・シュワルツの不等式 $|\vec{x}|^2 |\vec{y}|^2 \geqq (\vec{x} \cdot \vec{y})^2$ を用いる。

それぞれのベクトルの大きさの2乗と内積は以下のようになる。

$$\begin{aligned} |\vec{x}|^2 &= a^2 + b^2 + c^2 \\ |\vec{y}|^2 &= 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \\ \vec{x} \cdot \vec{y} &= a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 = a + b + c \end{aligned}$$

これらを不等式に代入すると、

$$(a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geqq (a + b + c)^2$$

すなわち、

$$3(a^2 + b^2 + c^2) \geqq (a+b+c)^2$$

が成り立つ。

(2)

コーシー・シュワルツの不等式 $|\vec{x}|^2 |\vec{y}|^2 \geqq (\vec{x} \cdot \vec{y})^2$ において等号が成立するための必要十分条件は、$\vec{x}$ と $\vec{y}$ が平行であること、または少なくとも一方が零ベクトルであることである。

$\vec{y} \neq \vec{0}$ であるから、等号が成立するのは $\vec{x} = k\vec{y}$ となる実数 $k$ が存在するときである。

$$(a, b, c) = k(1, 1, 1) = (k, k, k)$$

よって、$a = b = c = k$ となるため、求める必要十分条件は

$$a = b = c$$

である。