数学2 式の値 問題 4 解説

方針・初手

与えられた $x$ の値が無理数を含んでおり、そのまま4次式に代入すると計算が非常に煩雑になる。そのため、$x$ を解にもつ有理数係数の2次方程式を作成し、与えられた4次式をその2次式で割る「次数下げ」の手法を用いる。

解法1

$x = \sqrt{3} - 2$ より、

$$x + 2 = \sqrt{3}$$

両辺を2乗すると、

$$(x + 2)^2 = 3$$

展開して整理すると、

$$x^2 + 4x + 4 = 3$$

$$x^2 + 4x + 1 = 0$$

与えられた式を $P(x)$ とおくと、

$$P(x) = x^4 + (4 - \sqrt{3})x^3 + (3 - 4\sqrt{3})x^2 + (5 - \sqrt{3})x - 5$$

$P(x)$ を $x^2 + 4x + 1$ で割ると、以下の恒等式を得る。

$$P(x) = (x^2 + 4x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 2) - 3x - 7$$

$x = \sqrt{3} - 2$ のとき $x^2 + 4x + 1 = 0$ が成り立つので、求める式の値は余りの1次式に $x$ の値を代入したものと等しくなる。

$$P(\sqrt{3} - 2) = 0 \cdot (x^2 - \sqrt{3}x + 2) - 3(\sqrt{3} - 2) - 7$$

$$= -3\sqrt{3} + 6 - 7$$

$$= -1 - 3\sqrt{3}$$

解説

無理数を含む値を代入する問題における典型的な「次数下げ」の手法である。与えられた $x$ の等式を変形し、無理数（ルート）を右辺に単独にしてから両辺を2乗することで、有理数係数の2次方程式を作ることができる。その後、多項式の割り算を実行することで、高次式の計算を1次式の計算に帰着させる。計算量が減り、計算ミスを防ぐ有効な手段である。

答え

$-1 - 3\sqrt{3}$