数学2 式の値 問題 5 解説

方針・初手

対称式の値の計算である。まずは $x$ と $y$ の基本対称式である和 $x+y$ と積 $xy$ の値を求める。その後、与えられた式を $x+y$ と $xy$ を用いて表し、求めた値を代入する。

解法1

$x$ と $y$ の分母をそれぞれ有理化する。

$$\begin{aligned} x &= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \\ &= \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} \\ &= \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{7-5} \\ &= \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} \\ &= 6 + \sqrt{35} \end{aligned}$$

同様に、$y$ の分母を有理化する。

$$\begin{aligned} y &= \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} \\ &= \frac{7 - 2\sqrt{35} + 5}{7-5} \\ &= \frac{12 - 2\sqrt{35}}{2} \\ &= 6 - \sqrt{35} \end{aligned}$$

これより、$x+y$ および $xy$ の値は次のようになる。

$$x+y = (6 + \sqrt{35}) + (6 - \sqrt{35}) = 12$$

$$xy = (6 + \sqrt{35})(6 - \sqrt{35}) = 36 - 35 = 1$$

次に、$5x^2+2xy+5y^2$ を基本対称式 $x+y, xy$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} 5x^2+2xy+5y^2 &= 5(x^2+y^2) + 2xy \\ &= 5\{(x+y)^2 - 2xy\} + 2xy \\ &= 5(x+y)^2 - 10xy + 2xy \\ &= 5(x+y)^2 - 8xy \end{aligned}$$

ここに $x+y=12, xy=1$ を代入する。

$$5x^2+2xy+5y^2 = 5 \cdot 12^2 - 8 \cdot 1 = 5 \cdot 144 - 8 = 720 - 8 = 712$$

解法2

$x$ と $y$ をそのまま通分して $x+y$ を求める。また、$y$ は $x$ の逆数であることに着目して $xy$ を求める。

$$\begin{aligned} x+y &= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} \\ &= \frac{(7 + 2\sqrt{35} + 5) + (7 - 2\sqrt{35} + 5)}{7 - 5} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12 \end{aligned}$$

また、$x$ と $y$ の積は次のようになる。

$$xy = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = 1$$

求める式の値を計算する。

$$\begin{aligned} 5x^2+2xy+5y^2 &= 5(x^2+y^2) + 2xy \\ &= 5\{(x+y)^2 - 2xy\} + 2xy \\ &= 5(x+y)^2 - 8xy \\ &= 5 \cdot 12^2 - 8 \cdot 1 \\ &= 720 - 8 \\ &= 712 \end{aligned}$$

解説

分母に無理数を含む式の対称式の値を求める典型問題である。与えられた式を基本対称式（和 $x+y$、積 $xy$）のみを用いた形に変形することが定石である。

本問のように $x$ と $y$ が互いに逆数となっている、あるいは共役な無理数を含む場合は、和と積が簡単な有理数になる。そのため、個別の項の値をそのまま代入して計算するよりも、あらかじめ基本対称式の値を求めておくことで、計算の負担を減らし計算ミスを防ぐことができる。

基本対称式への変形では、$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$ の関係を用いることが重要である。

答え

$x+y = 12$

$5x^2+2xy+5y^2 = 712$