数学2 式の値 問題 6 解説

方針・初手

与えられた無理数の二重根号を外すことが第一歩である。二重根号を外して簡単な形に直した後、その数の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める。実数 $x$ の整数部分が $a$、小数部分が $b$ であるとき、$x = a + b$ ($a$ は整数、$0 \leqq b < 1$) が成り立つ。この性質を用いて $b$ を $x - a$ として表す。後半の式の値の計算では、$b$ と $\frac{1}{b}$ の和を求め、対称式の性質を利用して計算を簡略化する。

解法1

まず、与えられた二重根号を外す。根号の中を $p + 2\sqrt{q}$ の形に変形する。

$$\sqrt{14+6\sqrt{5}} = \sqrt{14+2\sqrt{9 \times 5}} = \sqrt{14+2\sqrt{45}}$$

足して $14$、かけて $45$ となる $2$ つの正の数は $9$ と $5$ であるから、

$$\sqrt{14+2\sqrt{45}} = \sqrt{9} + \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5}$$

となる。

次に、$3+\sqrt{5}$ の整数部分 $a$ を求める。 $4 < 5 < 9$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、各辺に $3$ を加えると、

$$5 < 3+\sqrt{5} < 6$$

したがって、$3+\sqrt{5}$ の整数部分は $5$ である。よって、

$$a = 5$$

小数部分 $b$ は、元の数から整数部分を引いたものであるから、

$$b = (3+\sqrt{5}) - 5 = \sqrt{5} - 2$$

となる。

続いて、$b^2+\frac{1}{b^2}$ および $b^3+\frac{1}{b^3}$ の値を求める。計算を工夫するため、あらかじめ $b+\frac{1}{b}$ の値を求めておく。

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$$

これより、

$$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$$

対称式の変形公式を用いて、$b^2+\frac{1}{b^2}$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} b^2+\frac{1}{b^2} &= \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 - 2 \\ &= (2\sqrt{5})^2 - 2 \\ &= 20 - 2 \\ &= 18 \end{aligned}$$

同様に、$b^3+\frac{1}{b^3}$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} b^3+\frac{1}{b^3} &= \left(b+\frac{1}{b}\right)^3 - 3\left(b+\frac{1}{b}\right) \\ &= (2\sqrt{5})^3 - 3(2\sqrt{5}) \\ &= 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \\ &= 34\sqrt{5} \end{aligned}$$

解説

二重根号の簡略化、整数部分・小数部分の処理、対称式の値の計算という、数学Iの基本的なテーマが組み合わさった典型問題である。 二重根号 $\sqrt{x+2\sqrt{y}}$ を外す際は、和が $x$、積が $y$ となる正の数 $p, q$ ($p>q$) を見つけ、$\sqrt{p}+\sqrt{q}$ と変形する。ルートの前の係数を $2$ にそろえることがポイントである。 式の値の計算においては、$b$ の値を直接代入するのではなく、$b+\frac{1}{b}$ を求めてから対称式の公式を用いることで、計算ミスを減らし効率的に解くことができる。

答え

$a = 5$

$b^2+\frac{1}{b^2} = 18$

$b^3+\frac{1}{b^3} = 34\sqrt{5}$