数学2 式の値 問題 7 解説

方針・初手

与えられた2つの等式の分母を払い、式を整頓する。文字の構成が似た式が並んでいるため、2式の辺々を引いて因数分解し、「$a, b, c$ は互いに異なる」という条件を利用して式の値を決定する。

解法1

与えられた等式は、

$$\frac{(a-b)^2}{c} + 3c = \frac{(b-c)^2}{a} + 3a = 2$$

である。分母に文字があることから、$a \neq 0$ かつ $c \neq 0$ である。 この式から以下の2つの等式が得られる。

$$\frac{(a-b)^2}{c} + 3c = 2$$

$$\frac{(b-c)^2}{a} + 3a = 2$$

第1式の両辺に $c$ を掛けて展開し、整理すると、

$$(a-b)^2 + 3c^2 = 2c$$

$$a^2 - 2ab + b^2 + 3c^2 = 2c$$

となる。これを (1) とする。 同様に、第2式の両辺に $a$ を掛けて展開し、整理すると、

$$(b-c)^2 + 3a^2 = 2a$$

$$b^2 - 2bc + c^2 + 3a^2 = 2a$$

となる。これを (2) とする。

(1) から (2) を辺々引くと、

$$(a^2 - c^2) - 2b(a-c) + 3(c^2 - a^2) = 2(c - a)$$

$$-2(a^2 - c^2) - 2b(a-c) + 2(a - c) = 0$$

両辺を $-2$ で割って整理すると、

$$(a^2 - c^2) + b(a-c) - (a - c) = 0$$

$$(a - c)(a + c) + b(a - c) - (a - c) = 0$$

左辺は共通因数 $(a-c)$ を持つため、これでくくると、

$$(a - c)(a + c + b - 1) = 0$$

$$(a - c)(a + b + c - 1) = 0$$

が得られる。

ここで、問題の条件より $a, b, c$ は互いに異なる実数であるから、$a \neq c$、すなわち $a - c \neq 0$ である。

したがって、

$$a + b + c - 1 = 0$$

が成り立ち、移項して

$$a + b + c = 1$$

と求まる。

解説

与えられた連立等式から、変数の差をくくり出す典型的な問題である。分母を払った後に2式の差をとることで共通の項を消去し、因数分解しやすい形を作るのがポイントである。「互いに異なる」という条件を見落とさずに $a - c \neq 0$ を確認することで、求めるべき $a + b + c$ の値のみが抽出される。

答え

1