トップ› 基礎問題› 数学2› 式と証明› 式の値› 問題 8

数学2 式の値問題 8 解説

方針・初手

(1) は分母・分子に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を掛けて有理化する。

(2) は (1) の結果を直接代入しても計算できるが、$x$ を解にもつ2次方程式を作成して、与式の次数を下げる工夫をすると計算ミスが少なくなる。

解法1

(1)

分母と分子に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を掛けて有理化する。

$$\begin{aligned} x &= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\ &= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\ &= \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} \\ &= 5 + 2\sqrt{6} \end{aligned}$$

(2)

(1) より、$x = 5 + 2\sqrt{6}$ である。

無理数部分を孤立させるように移項する。

$$x - 5 = 2\sqrt{6}$$

両辺を2乗する。

$$(x - 5)^2 = (2\sqrt{6})^2$$

展開して整理する。

$$x^2 - 10x + 25 = 24$$

$$x^2 - 10x + 1 = 0$$

この関係式を利用して、求める式の値を計算する。

$$\begin{aligned} x^2 - 10x + 2 &= (x^2 - 10x + 1) + 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

解法2

(2) の別解

(1) で求めた $x = 5 + 2\sqrt{6}$ を、そのまま与式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} x^2 - 10x + 2 &= (5 + 2\sqrt{6})^2 - 10(5 + 2\sqrt{6}) + 2 \\ &= (25 + 20\sqrt{6} + 24) - (50 + 20\sqrt{6}) + 2 \\ &= 49 + 20\sqrt{6} - 50 - 20\sqrt{6} + 2 \\ &= 1 \end{aligned}$$

解説

(1) の無理数の有理化は、$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の展開公式を利用して平方根を外す定石である。

(2) のような式の値を求める問題では、直接代入して計算する（解法2）こともできるが、解法1のように $x$ が満たす2次方程式を作り、その方程式を代入先の式に作り出して値を求める手法が非常に重要である。この「次数下げ」と呼ばれる手法は、代入する式の次数が3次以上と高くなった場合により強力な武器となるため、確実に習得しておきたい。