数学2 式の値 問題 9 解説

方針・初手

与えられた $x = 1 + \sqrt{3}$ を直接代入して計算することも可能だが、計算量を減らすための工夫を考える。

根号（$\sqrt{3}$）を片辺に孤立させて両辺を2乗することで、$x$ に関する2次方程式を作る。得られた関係式を用いて、求める多項式の次数を下げるのが定石である。

解法1

$x = 1 + \sqrt{3}$ より、

$$x - 1 = \sqrt{3}$$

両辺を2乗すると、

$$(x - 1)^2 = (\sqrt{3})^2$$

$$x^2 - 2x + 1 = 3$$

$$x^2 - 2x = 2$$

したがって、$[ア]$ の値は $2$ である。

また、この式から $x^2 - 2x - 2 = 0$ が成り立つ。

次に、$x^3 - 4x^2 + 6x + 5$ の値を求める。この多項式を $x^2 - 2x - 2$ で割ると、商が $x - 2$、余りが $4x + 1$ となるため、次のように変形できる。

$$x^3 - 4x^2 + 6x + 5 = (x^2 - 2x - 2)(x - 2) + 4x + 1$$

ここで $x^2 - 2x - 2 = 0$ であるから、

$$x^3 - 4x^2 + 6x + 5 = 0 \cdot (x - 2) + 4x + 1 = 4x + 1$$

となる。これに $x = 1 + \sqrt{3}$ を代入して、

$$4(1 + \sqrt{3}) + 1 = 4 + 4\sqrt{3} + 1 = 5 + 4\sqrt{3}$$

したがって、$[イ]$ の値は $5 + 4\sqrt{3}$ である。

解法2

$x = 1 + \sqrt{3}$ を直接代入して計算する。

まず、$x^2$ を計算する。

$$x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$$

これを用いて $x^2 - 2x$ を計算する。

$$x^2 - 2x = (4 + 2\sqrt{3}) - 2(1 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} = 2$$

したがって、$[ア]$ の値は $2$ である。

次に、$x^3$ を計算する。

$$x^3 = x \cdot x^2 = (1 + \sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 6 = 10 + 6\sqrt{3}$$

これらを $x^3 - 4x^2 + 6x + 5$ に代入する。

$$\begin{aligned} x^3 - 4x^2 + 6x + 5 &= (10 + 6\sqrt{3}) - 4(4 + 2\sqrt{3}) + 6(1 + \sqrt{3}) + 5 \\ &= 10 + 6\sqrt{3} - 16 - 8\sqrt{3} + 6 + 6\sqrt{3} + 5 \\ &= (10 - 16 + 6 + 5) + (6 - 8 + 6)\sqrt{3} \\ &= 5 + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$

したがって、$[イ]$ の値は $5 + 4\sqrt{3}$ である。

解説

無理数を含む式の値を求める典型問題である。

解法2のように直接代入しても答えは求まるが、次数が高くなるほど計算量が増え、計算ミスのリスクが高まる。

そのため、解法1のように「無理数を分離して2乗し、$x$ の2次方程式を作る」「その2次方程式を用いて多項式の割り算を行い、次数を下げる」という処理が非常に有効である。この「次数下げ」の考え方は、より複雑な問題でも強力な武器となるため、確実にマスターしておきたい。

答え

$[ア]$ $2$

$[イ]$ $5 + 4\sqrt{3}$