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数学2 式の値問題 10 解説

方針・初手

$x \pm \frac{1}{x}$ の値から式の値を求める典型問題である。
乗法公式を変形した関係式を利用する。
$x + \frac{1}{x}$ を求める際は、平方した式 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$ の値を計算し、条件から符号の判定を行う。

まず、$x + \frac{1}{x}$ の値を求める。

乗法公式の変形より、以下の関係が成り立つ。

$$\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 4$$

与えられた $x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ を代入する。

$$\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 + 4 = 3 + 4 = 7$$

ここで、$x > 0$ であるため、$x + \frac{1}{x} > 0$ である。したがって、平方根をとって次のように定まる。

$$x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$$

次に、$x^3 - \frac{1}{x^3}$ の値を求める。

3乗の展開公式を変形した $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$ を利用すると、次のように表せる。

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left( x - \frac{1}{x} \right)^3 + 3 \left( x - \frac{1}{x} \right)$$

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ を代入する。

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

$x^3 - \frac{1}{x^3}$ の計算について、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用する別解を示す。

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right)$$

ここで、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ は次のように求められる。

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2 = 5$$

これを元の因数分解した式に代入する。

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = \sqrt{3} \cdot (5 + 1) = 6\sqrt{3}$$

文字とその逆数の和・差についての式の値を求める基本問題である。
$(x+\frac{1}{x})^2$ や $(x-\frac{1}{x})^2$ を展開した際に出てくる交差項 $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$ が定数になる性質を利用している。
2乗の値を求めた後、元となる値（今回は $x+\frac{1}{x}$）を求める際に符号の判断が必要になる。問題文の $x>0$ という条件を見落とさず、正の値のみを採用する点が重要である。