数学2 式の値 問題 11 解説

方針・初手

与えられている $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ の3つの値は、3変数 $x, y, z$ の基本対称式である。求める各式もすべて対称式であるため、これら基本対称式の組み合わせで表して計算するのが定石である。 特に (4) は、条件式 $x+y+z=3$ を利用して文字を減らす工夫をすると計算が容易になる。

解法1

(1)

$$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$$

より、平方の和は次のように表せる。

$$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$$

与えられた値を代入すると、以下のようになる。

$$x^2+y^2+z^2 = 3^2 - 2(-10) = 9 + 20 = 29$$

(2)

$xy, yz, zx$ の和の平方を展開すると、次のようになる。

$$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2(xy^2z + xyz^2 + x^2yz)$$

$$= x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)$$

これを移項して変形する。

$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = (xy+yz+zx)^2 - 2xyz(x+y+z)$$

与えられた値を代入すると、以下のようになる。

$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = (-10)^2 - 2(-24) \cdot 3 = 100 + 144 = 244$$

(3)

与式を展開して整理する。

$$(x+1)(y+1)(z+1) = (xy+x+y+1)(z+1)$$

$$= xyz + xy + xz + x + yz + y + z + 1$$

$$= xyz + (xy+yz+zx) + (x+y+z) + 1$$

与えられた値を代入すると、以下のようになる。

$$-24 + (-10) + 3 + 1 = -30$$

(4)

$x+y+z=3$ より、$x+y=3-z, y+z=3-x, z+x=3-y$ である。これを与式に代入する。

$$(x+y)(y+z)(z+x) = (3-z)(3-x)(3-y)$$

$$= (3-x)(3-y)(3-z)$$

ここで、公式 $(t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz$ を用いて展開する。

$$(3-x)(3-y)(3-z) = 3^3 - (x+y+z) \cdot 3^2 + (xy+yz+zx) \cdot 3 - xyz$$

$$= 27 - 9(x+y+z) + 3(xy+yz+zx) - xyz$$

与えられた値を代入すると、以下のようになる。

$$27 - 9 \cdot 3 + 3(-10) - (-24) = 27 - 27 - 30 + 24 = -6$$

解法2

$x, y, z$ を解に持つ $t$ の3次方程式は、解と係数の関係より次のように表せる。

$$t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$$

与えられた値を代入すると、具体的な方程式が得られる。

$$t^3 - 3t^2 - 10t + 24 = 0$$

因数定理を用いて左辺を因数分解する。$t=2$ を代入すると $8-12-20+24=0$ となるため、$t-2$ を因数に持つ。

$$(t-2)(t^2 - t - 12) = 0$$

$$(t-2)(t-4)(t+3) = 0$$

よって、方程式の解は $t = 2, 4, -3$ である。 これらが $x, y, z$ の値であるため、対称性から $(x, y, z) = (2, 4, -3)$ として各式の値を計算しても一般性を失わない。

(1)

$$x^2+y^2+z^2 = 2^2 + 4^2 + (-3)^2 = 4 + 16 + 9 = 29$$

(2)

$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = (2 \cdot 4)^2 + (4 \cdot (-3))^2 + ((-3) \cdot 2)^2$$

$$= 8^2 + (-12)^2 + (-6)^2 = 64 + 144 + 36 = 244$$

(3)

$$(x+1)(y+1)(z+1) = (2+1)(4+1)(-3+1)$$

$$= 3 \cdot 5 \cdot (-2) = -30$$

(4)

$$(x+y)(y+z)(z+x) = (2+4)(4-3)(-3+2)$$

$$= 6 \cdot 1 \cdot (-1) = -6$$

解説

• 3変数の基本対称式を用いた式の変形は、大学入試における頻出テーマである。特に (1) および (2) の変形公式はいつでも引き出せるようにしておく必要がある。
• (4) をそのまま展開すると計算が非常に煩雑になる。和が一定である条件（$x+y+z=3$）を利用して、「2文字の和を1文字で表す」ことで式を簡略化するのは定石のアプローチである。
• 本問のように基本対称式の値がすべて整数で与えられている場合、解法2のように解と係数の関係から元の変数の値を直接求めてしまうアプローチも強力である。具体的な数値を代入するだけの計算に帰着できるため、計算ミスを防ぎやすくなる。

答え

(1) 29

(2) 244

(3) -30

(4) -6