数学2 式の値 問題 12 解説

方針・初手

与えられた無理数の分母を有理化し、値のおおよその大きさを評価して整数部分と小数部分を求める。その後、求めた値を2次式に代入して式の値を計算する。

解法1

まず、与えられた数の分母を有理化する。

$$\frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$$

次に、この数の整数部分 $a$ を求める。$2^2 < 7 < 3^2$ より、

$$2 < \sqrt{7} < 3$$

である。各辺に $3$ を加えて $2$ で割ると、

$$\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < \frac{6}{2}$$

すなわち、

$$2.5 < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < 3$$

となる。したがって、$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ の整数部分は $2$ であるから、

$$a = 2$$

である。

また、小数部分 $b$ は元の数から整数部分を引いた値であるから、

$$b = \frac{3+\sqrt{7}}{2} - 2 = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$$

となる。

最後に、求めた $a$ と $b$ を式 $a^2+2ab+4b^2$ に代入する。ここで、$2b = \sqrt{7}-1$ であることを利用すると計算が容易になる。

$$\begin{aligned} a^2+2ab+4b^2 &= a^2 + a(2b) + (2b)^2 \\ &= 2^2 + 2(\sqrt{7}-1) + (\sqrt{7}-1)^2 \\ &= 4 + 2\sqrt{7} - 2 + (7 - 2\sqrt{7} + 1) \\ &= 2 + 2\sqrt{7} + 8 - 2\sqrt{7} \\ &= 10 \end{aligned}$$

解説

無理数の整数部分と小数部分を求める典型的な問題である。分母に無理数を含む場合は、まず有理化を行うことが基本方針となる。平方根の近似値は、根号の中の数を連続する平方数で挟むことによって評価する。後半の式の値の計算では、そのまま代入してもよいが、$2b$ の形を作って代入することで、分数計算を避け、計算ミスを防ぐことができる。

答え

$a = 2$

$b = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$

$a^2+2ab+4b^2 = 10$