数学2 式の値 問題 13 解説

方針・初手

与えられた等式は、$x$ および $y$ についての2次方程式である。実数 $x, y$ がこの等式を満たすという条件から、いずれかの文字についての2次方程式とみて「実数解をもつ条件（判別式 $D \ge 0$）」を利用するか、「$(実数)^2 + (実数)^2 = 0$」の形に平方完成して $0$ となる条件を利用する。

解法1

与えられた方程式を $x$ について整理すると、

$$x^2 + 4(y - 1)x + (5y^2 - 14y + 13) = 0$$

これが実数 $x$ をもつための条件は、この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ となることである。

$$\frac{D}{4} = \{2(y - 1)\}^2 - 1 \cdot (5y^2 - 14y + 13) \ge 0$$

これを計算すると、

$$4(y^2 - 2y + 1) - 5y^2 + 14y - 13 \ge 0$$

$$-y^2 + 6y - 9 \ge 0$$

$$y^2 - 6y + 9 \le 0$$

$$(y - 3)^2 \le 0$$

$y$ は実数であるから、$(y - 3)^2 \ge 0$ であり、上の不等式を満たすのは以下のときのみである。

$$(y - 3)^2 = 0$$

したがって、$y = 3$ である。

このとき、$D = 0$ となるため、$x$ についての2次方程式は重解をもつ。その解は、

$$x = -2(y - 1) = -2(3 - 1) = -4$$

以上より、$x = -4, y = 3$ となる。

解法2

与式を $x$ について平方完成すると、

$$x^2 + 4(y - 1)x + 5y^2 - 14y + 13 = 0$$

$$\{x + 2(y - 1)\}^2 - 4(y - 1)^2 + 5y^2 - 14y + 13 = 0$$

$$(x + 2y - 2)^2 - 4(y^2 - 2y + 1) + 5y^2 - 14y + 13 = 0$$

$$(x + 2y - 2)^2 + y^2 - 6y + 9 = 0$$

$$(x + 2y - 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$$

$x, y$ は実数であるから、$x + 2y - 2$ および $y - 3$ も実数である。実数の2乗は $0$ 以上であるから、

$$(x + 2y - 2)^2 \ge 0, \quad (y - 3)^2 \ge 0$$

これら2つの和が $0$ になるのは、それぞれが $0$ のときに限られる。したがって、

$$\begin{cases} x + 2y - 2 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$$

第2式より $y = 3$ であり、これを第1式に代入すると、

$$x + 2 \cdot 3 - 2 = 0$$

$$x = -4$$

以上より、$x = -4, y = 3$ となる。

解説

2つの変数が含まれる方程式が1つだけ与えられ、実数解を求める問題である。このような条件不足の方程式において「実数」という条件が強力な縛りとなる。 1文字について整理して判別式を利用する方法（解法1）と、無理やり平方完成を行って $( \quad )^2 + ( \quad )^2 = 0$ の形を作る方法（解法2）は、どちらも頻出の定石である。解法1は計算が機械的に進められる利点があり、解法2は式変形の見通しが立てば非常に素早く解ける。

答え

$x = -4, y = 3$