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数学2 式の値問題 14 解説

方針・初手

与えられた比例式の値が $0$ でないことから、式全体を文字 $k$ ($k \neq 0$) とおくことで、$x, y, z$ をそれぞれ $k$ の式で表す。これにより、求める式の値を $k$ についての式に帰着させる。

解法1

与えられた等式から、

$$-(x+y) = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{3} = k \quad (k \neq 0)$$

とおく。これより、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} x+y = -k & \cdots (1) \\ y+z = 4k & \cdots (2) \\ z+x = 3k & \cdots (3) \end{cases}$$

(1), (2), (3) の辺々をすべて足し合わせると、

$$2(x+y+z) = -k + 4k + 3k$$

$$2(x+y+z) = 6k$$

$$x+y+z = 3k \quad \cdots (4)$$

となる。(4)の式からそれぞれ(2), (3), (1)を引くことで、$x, y, z$ を求める。

$$x = (x+y+z) - (y+z) = 3k - 4k = -k$$

$$y = (x+y+z) - (z+x) = 3k - 3k = 0$$

$$z = (x+y+z) - (x+y) = 3k - (-k) = 4k$$

よって、$y=0$ である。

次に、求めた $x, y, z$ を $\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$ に代入する。

$$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} = \frac{(-k)^2 + 0^2 + (4k)^2}{(-k) \cdot 0 + 0 \cdot 4k + 4k \cdot (-k)}$$

$$= \frac{k^2 + 16k^2}{-4k^2}$$

$$= \frac{17k^2}{-4k^2}$$

$k \neq 0$ より $k^2 \neq 0$ であるから、分母分子を $k^2$ で割ることができる。

$$= -\frac{17}{4}$$

解説

複数の等式が連なっている比例式の問題では、全体を $=k$ とおくのが定石である。今回のように $x+y, y+z, z+x$ の値が与えられている連立方程式では、3つの式をすべて足し合わせて $x+y+z$ の値を求めると、そこから引き算をするだけで各変数の値をスムーズに計算できる。また、最後の代入計算において、約分する際に $k \neq 0$ であることを意識しておくことが重要である。