数学2 式の値 問題 15 解説

方針・初手

まずは無理数の小数部分を式で表す。無理数 $x$ の小数部分は、$x - (x\text{ の整数部分})$ で計算できる。 求めた $a, b$ の値を用いて $a+\frac{1}{a}$ および $b+\frac{1}{b}$ の値を計算し、それを元に式の値を求める。3乗の和については、対称式の変形公式を利用して次数を下げるのが定石である。

解法1

$1 < 2 < 4$ より $1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$\sqrt{2}$ の整数部分は $1$ である。 したがって、$\sqrt{2}$ の小数部分 $a$ は

$$a = \sqrt{2} - 1$$

である。

同様に、$4 < 5 < 9$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$\sqrt{5}$ の整数部分は $2$ である。 したがって、$\sqrt{5}$ の小数部分 $b$ は

$$b = \sqrt{5} - 2$$

である。

ここで、$a+\frac{1}{a}$ および $b+\frac{1}{b}$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} a + \frac{1}{a} &= (\sqrt{2} - 1) + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \\ &= (\sqrt{2} - 1) + \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \\ &= (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} b + \frac{1}{b} &= (\sqrt{5} - 2) + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \\ &= (\sqrt{5} - 2) + \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} \\ &= (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) \\ &= 2\sqrt{5} \end{aligned}$$

よって、求める1つ目の式の値は、

$$\frac{1}{4} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left( b + \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{10}$$

となる。

次に、2つ目の式の値を求めるために、$a^3+\frac{1}{a^3}$ および $b^3+\frac{1}{b^3}$ の値を計算する。対称式の変形公式 $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を用いると、

$$\begin{aligned} a^3 + \frac{1}{a^3} &= \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \left( a + \frac{1}{a} \right) \\ &= \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - 3 \left( a + \frac{1}{a} \right) \\ &= (2\sqrt{2})^3 - 3(2\sqrt{2}) \\ &= 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \\ &= 10\sqrt{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} b^3 + \frac{1}{b^3} &= \left( b + \frac{1}{b} \right)^3 - 3 \cdot b \cdot \frac{1}{b} \left( b + \frac{1}{b} \right) \\ &= \left( b + \frac{1}{b} \right)^3 - 3 \left( b + \frac{1}{b} \right) \\ &= (2\sqrt{5})^3 - 3(2\sqrt{5}) \\ &= 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \\ &= 34\sqrt{5} \end{aligned}$$

となる。したがって、求める2つ目の式の値は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \left( a^3 + \frac{1}{a^3} \right) \left( b^3 + \frac{1}{b^3} \right) &= \frac{1}{4} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 34\sqrt{5} \\ &= \frac{340\sqrt{10}}{4} \\ &= 85\sqrt{10} \end{aligned}$$

となる。

解説

無理数の小数部分を扱う典型問題である。「小数部分＝元の数－整数部分」という定義に立ち返り、$a, b$ の値を正確に求めることが第一歩となる。 その後は式の値の計算に帰着されるが、$a^3+\frac{1}{a^3}$ のように $x^n+\frac{1}{x^n}$ の形をした式は、$x+\frac{1}{x}$ の値を用いた対称式の変形で次数を下げて計算するのがセオリーである。直接代入して3乗の展開を計算することも不可能ではないが、計算ミスを誘発しやすいため避けるべきである。

答え

$\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right) = \sqrt{10}$

$\frac{1}{4}\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)\left(b^3+\frac{1}{b^3}\right) = 85\sqrt{10}$