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数学2 式の値問題 16 解説

方針・初手

与えられた式 $t - \frac{1}{t} = 3$ を2乗して $t^2 + \frac{1}{t^2}$ の値を作り、それをさらに2乗することで目的の $t^4 + \frac{1}{t^4}$ の値を求める。

解法1

与えられた等式 $t - \frac{1}{t} = 3$ の両辺を2乗する。

$$\left( t - \frac{1}{t} \right)^2 = 3^2$$

左辺を展開すると以下のようになる。

$$t^2 - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 9$$

中央の項が定数となるため、式を整理する。

$$t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} = 9$$

$$t^2 + \frac{1}{t^2} = 11$$

次に、得られた等式 $t^2 + \frac{1}{t^2} = 11$ の両辺をさらに2乗する。

$$\left( t^2 + \frac{1}{t^2} \right)^2 = 11^2$$

同様に左辺を展開する。

$$t^4 + 2 \cdot t^2 \cdot \frac{1}{t^2} + \frac{1}{t^4} = 121$$

中央の項が定数となるため、整理する。

$$t^4 + 2 + \frac{1}{t^4} = 121$$

ゆえに、求める値は次のようになる。

$$t^4 + \frac{1}{t^4} = 119$$

解説

逆数の和や差が与えられた式の値を求める典型的な問題である。$t \pm \frac{1}{t}$ を2乗すると、積の項である $2 \cdot t \cdot \frac{1}{t}$ や $-2 \cdot t \cdot \frac{1}{t}$ が定数の $2$ や $-2$ になる性質を利用する。今回は4乗の和を求めるため、2乗の操作を2回繰り返すことで容易に結論を得ることができる。