数学2 式の値 問題 17 解説

方針・初手

与えられた式 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗することで、$x + \frac{1}{x}$ の値を求める。続いて、対称式の変形公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を計算する。

解法1

与えられた等式

$$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{5}$$

の両辺を2乗すると、

$$\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 = (\sqrt{5})^2$$

展開して整理すると、

$$x + 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 5$$

$$x + 2 + \frac{1}{x} = 5$$

$$x + \frac{1}{x} = 3$$

となる。

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める。対称式の変形公式より、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3x \cdot \frac{1}{x} \left( x + \frac{1}{x} \right)$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)$$

となる。ここで、先に求めた $x + \frac{1}{x} = 3$ を代入すると、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 - 3 \cdot 3$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$$

となる。

解説

対称式の値の計算に関する典型問題である。$x^n + \frac{1}{x^n}$ の形の式は、$x + \frac{1}{x}$ の値から順次求めることができる。

$x^3 + \frac{1}{x^3}$ の計算では、公式 $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ を変形した $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いるのが定石である。公式を丸暗記するだけでなく、展開式からすぐに導出できるようにしておくとよい。

答え

$x + \frac{1}{x} = 3$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$