数学2 式の値 問題 18 解説

方針・初手

与えられた式はすべて3変数 $a, b, c$ の対称式である。3変数の対称式は、基本対称式 $a+b+c$, $ab+bc+ca$, $abc$ のみを用いて表すことができる。乗法公式を活用して、これら基本対称式の値を順に求めていく方針をとる。

解法1

3変数の和の平方の展開公式は以下の通りである。

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$

これに $a+b+c=7$, $a^2+b^2+c^2=9$ を代入する。

$$7^2 = 9 + 2(ab+bc+ca)$$

$$49 = 9 + 2(ab+bc+ca)$$

$$2(ab+bc+ca) = 40$$

よって、

$$ab+bc+ca = 20$$

次に、与えられた等式 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ の左辺を通分する。

$$\frac{bc+ca+ab}{abc} = \frac{1}{3}$$

上で求めた $ab+bc+ca=20$ を代入する。

$$\frac{20}{abc} = \frac{1}{3}$$

分母を払って整理すると、

$$abc = 60$$

最後に、$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ の値を求める。$(ab+bc+ca)^2$ を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (ab+bc+ca)^2 &= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2(ab \cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab) \\ &= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab^2c+a^2bc+abc^2) \\ &= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(b+a+c) \\ &= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) \end{aligned}$$

この等式に、$ab+bc+ca=20$, $abc=60$, $a+b+c=7$ を代入する。

$$20^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2 \cdot 60 \cdot 7$$

$$400 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+840$$

$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = 400 - 840 = -440$$

解説

3変数の対称式の値を求める典型的な問題である。対称式の計算においては、基本対称式 $a+b+c$, $ab+bc+ca$, $abc$ を用いて表すことが定石である。

特に、$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ の計算では、$(ab+bc+ca)^2$ の展開式を利用する。この展開の過程で $2abc(a+b+c)$ が現れることは非常によく利用されるため、公式として記憶しておくか、すぐに導出できるようにしておくとよい。

答え

[ ア ] $20$

[ イ ] $60$

[ ウ ] $-440$