数学2 式の値 問題 19 解説

方針・初手

対称式の値の計算問題である。与えられた $x+y$ と $x^2+y^2$ の値から、まずはもう一つの基本対称式である $xy$ の値を求める。その後、求めたい式を $x+y$ と $xy$ を用いて表し、値を代入して計算する。

解法1

$x+y = \sqrt{3}$、$x^2+y^2 = 5$ が与えられている。 対称式の変形公式 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を用いて、これに与えられた値を代入する。

$$5 = (\sqrt{3})^2 - 2xy$$

$$5 = 3 - 2xy$$

$$2xy = -2$$

$$xy = -1$$

次に、$x^3+y^3$ の値を求める。対称式の変形公式を用いる。

$$\begin{aligned} x^3+y^3 &= (x+y)^3 - 3xy(x+y) \\ &= (\sqrt{3})^3 - 3(-1)\sqrt{3} \\ &= 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \\ &= 6\sqrt{3} \end{aligned}$$

続いて、$\frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$ の値を求める。式を通分して整理する。

$$\begin{aligned} \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2} &= \frac{y^3+x^3}{x^2y^2} \\ &= \frac{x^3+y^3}{(xy)^2} \end{aligned}$$

すでに求めた $x^3+y^3 = 6\sqrt{3}$ と $xy = -1$ を代入する。

$$\frac{x^3+y^3}{(xy)^2} = \frac{6\sqrt{3}}{(-1)^2} = 6\sqrt{3}$$

解説

対称式（文字を入れ替えても値が変わらない式）の基本的な計算問題である。すべての対称式は、基本対称式である和 $x+y$ と積 $xy$ を用いて表すことができるという性質を利用する。 本問では和 $x+y$ の値が与えられているため、与えられた $x^2+y^2$ の値を利用して積 $xy$ の値を求めることが解決への第一歩となる。分数式の場合も同様で、まずは通分して基本対称式を用いて表す形に持ち込むことが定石である。

答え

$x^3+y^3$ は $6\sqrt{3}$

$\frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$ は $6\sqrt{3}$