数学2 式の値 問題 20 解説

方針・初手

与えられた複数の等式（連比例式）の値を文字で置くのが定石である。式の値を $k$ とおき、$x, y, z$ をそれぞれ $k$ を用いて表す。それらをもう一つの条件式 $x^3+y^3+z^3=-36$ に代入し、$k$ についての方程式を解く。

解法1

$$\frac{x+y}{5} = \frac{y+2z}{4} = \frac{z+3x}{10} = k$$

とおく。ここで $k$ は実数である。この式から以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} x + y = 5k & \cdots (1) \\ y + 2z = 4k & \cdots (2) \\ 3x + z = 10k & \cdots (3) \end{cases}$$

(1) より $y = 5k - x$ となる。これを (2) に代入して整理する。

$$(5k - x) + 2z = 4k$$

$$x - 2z = k \quad \cdots (4)$$

(3) と (4) を連立して $x, z$ を求める。(4) より $x = 2z + k$ であり、これを (3) に代入する。

$$3(2z + k) + z = 10k$$

$$6z + 3k + z = 10k$$

$$7z = 7k$$

$$z = k$$

これを $x = 2z + k$ に代入すると、

$$x = 2k + k = 3k$$

さらに、これらを (1) に代入して $y$ を求める。

$$3k + y = 5k$$

$$y = 2k$$

以上より、$x = 3k, y = 2k, z = k$ と表される。これらを条件式 $x^3+y^3+z^3=-36$ に代入する。

$$(3k)^3 + (2k)^3 + (k)^3 = -36$$

$$27k^3 + 8k^3 + k^3 = -36$$

$$36k^3 = -36$$

$$k^3 = -1$$

$x, y, z$ は実数であるから、$k$ も実数である。したがって、

$$k = -1$$

求める値は $\frac{x+y}{5} = \frac{y+2z}{4} = \frac{z+3x}{10}$ の値、すなわち $k$ の値であるため、答えは $-1$ となる。

解説

比例式 $\frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c}$ が与えられたときは、$= k$ とおいて $A = ak, B = bk, C = ck$ と表すのが基本の処理である。変数の数が多い連立方程式になるが、$k$ を定数扱いして $x, y, z$ の連立1次方程式として解けばよい。本問では計算量も少なく、連立方程式の基本的な解法（代入法や加減法）で容易に $x, y, z$ を $k$ で表すことができる。

答え

-1