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数学2 式の値問題 21 解説

方針・初手

与えられた条件式および求める式が、すべて $x, y$ についての対称式であることに着目する。基本対称式である $x+y$ と $xy$ の値を求めることから始める。その際、$x, y$ が実数であるという条件から、求めた基本対称式の値が適するかどうかを、2次方程式の判別式を用いて確認する必要がある。

解法1

$x+y=u, xy=v$ とおく。与えられた条件式は次のように書き換えられる。

$$\begin{cases} v + u = 20 \\ uv = 91 \end{cases}$$

第1式より $v = 20 - u$ である。これを第2式に代入する。

$$u(20 - u) = 91$$

整理して $u$ についての2次方程式を解く。

$$\begin{aligned} u^2 - 20u + 91 &= 0 \\ (u - 7)(u - 13) &= 0 \\ u &= 7, 13 \end{aligned}$$

$x, y$ は実数であるから、$t$ についての2次方程式 $t^2 - ut + v = 0$ は実数解をもつ。したがって、判別式を $D$ とすると $D = u^2 - 4v \geqq 0$ を満たさなければならない。

(i) $u=7$ のとき

$v = 20 - 7 = 13$ となる。このとき判別式 $D$ は以下のようになる。

$$D = 7^2 - 4 \cdot 13 = 49 - 52 = -3 < 0$$

これは $x, y$ が実数であることに矛盾するため、不適である。

(ii) $u=13$ のとき

$v = 20 - 13 = 7$ となる。このとき判別式 $D$ は以下のようになる。

$$D = 13^2 - 4 \cdot 7 = 169 - 28 = 141 \geqq 0$$

これは $x, y$ が実数であるための条件を満たす。

以上より、$x+y = 13, xy = 7$ である。これを用いて $x^2+y^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} x^2+y^2 &= (x+y)^2 - 2xy \\ &= 13^2 - 2 \cdot 7 \\ &= 169 - 14 \\ &= 155 \end{aligned}$$

同様に、$x^3+y^3$ を計算する。

$$\begin{aligned} x^3+y^3 &= (x+y)(x^2 - xy + y^2) \\ &= 13 \cdot (155 - 7) \\ &= 13 \cdot 148 \\ &= 1924 \end{aligned}$$

解説

対称式からなる連立方程式の典型的な問題である。基本対称式 $u=x+y, v=xy$ を文字でおいて解く手法は非常に強力である。本問で最も注意すべき点は「$x, y$ が実数である」という条件の処理である。$u, v$ の値が求まっても、それが直ちに実数 $x, y$ の存在を保証するわけではない。そのため、$x, y$ を解にもつ2次方程式の実数解条件（判別式 $D \geqq 0$）を忘れずに確認する必要がある。ここで候補を絞り込むことが正答への鍵となる。