数学2 式の値 問題 22 解説

方針・初手

与えられた式 $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ をもとに、対称式や交代式の性質を用いて式の値を求めていくのが基本方針である。

$x^2 + \frac{1}{x^2}$ や $x + \frac{1}{x}$ の値は、与式の両辺を2乗して得られる関係式から計算できる。その際、$x + \frac{1}{x}$ の符号は条件 $x < 0$ から吟味する必要がある。

また、最後の式は一見複雑に見えるが、展開して整理することで $x$ と $\frac{1}{x}$ の基本対称式・交代式で表すことができる。

解法1

与えられた等式 $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ の両辺を2乗する。

$$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{2})^2 = 8$$

よって、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 8 + 2 = 10$$

次に、$x + \frac{1}{x}$ の値を求めるため、この式を2乗したものを考える。

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 10 + 2 = 12$$

ここで、$x < 0$ であるから、$\frac{1}{x} < 0$ であり、$x + \frac{1}{x} < 0$ となる。 したがって、平方根をとって負のほうを選ぶと、

$$x + \frac{1}{x} = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$$

最後に、$\left(x - \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)$ の値を求める。式を展開して整理すると、

$$\left(x - \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) = x^3 + 1 - 1 - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3}$$

となる。因数分解の等式 $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$ を用いると、

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x - \frac{1}{x}\right) = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right)$$

与えられた $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ を代入して、

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{2})^3 + 3(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}$$

となる。

解法2

$x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ から $x$ の値を直接求めて計算する方針をとる。

与式の両辺に $x$ を掛けて整理すると、

$$x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$$

2次方程式の解の公式より、

$$x = \sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (-1)} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$$

条件 $x < 0$ と、$\sqrt{3} > \sqrt{2}$ より、$x = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ である。このとき、

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 - 3} = -\sqrt{2} - \sqrt{3}$$

これらを用いて各式の値を計算する。

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$$

$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + (-\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$$

最後の式は、先に展開してから代入する。

$$\left(x - \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) = x^3 - \frac{1}{x^3}$$

ここで、$x^3$ と $\frac{1}{x^3}$ をそれぞれ計算する。

$$x^3 = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^3 = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \cdot 3 - 3\sqrt{3} = 11\sqrt{2} - 9\sqrt{3}$$

$$\frac{1}{x^3} = \left(\frac{1}{x}\right)^3 = (-\sqrt{2} - \sqrt{3})^3 = -(2\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 9\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) = -11\sqrt{2} - 9\sqrt{3}$$

したがって、

$$x^3 - \frac{1}{x^3} = (11\sqrt{2} - 9\sqrt{3}) - (-11\sqrt{2} - 9\sqrt{3}) = 22\sqrt{2}$$

となる。

解説

文字式の変形に関する典型問題である。与えられた条件式が $x - \frac{1}{x} = k$ の形をしている場合、両辺を2乗することで $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を容易に作ることができる。

注意すべき点は $x + \frac{1}{x}$ の符号の決定である。問題文に $x < 0$ という条件が与えられているため、和も負になることを見落とさないようにしたい。

3つ目の式は展開すると $x^3 - \frac{1}{x^3}$ というすっきりした形になり、これも公式を利用して計算可能である。解法2のように直接 $x$ の値を求めて代入する方法も、無理数の計算に慣れていれば確実な手段となる。

答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

$x + \frac{1}{x} = -2\sqrt{3}$

$\left(x - \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) = 22\sqrt{2}$