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数学2 式の値問題 23 解説

方針・初手

対称式の性質を利用する。すべての対称式は基本対称式である $x+y$ と $xy$ を用いて表すことができるため、与えられた条件からまずは $xy$ の値を求めることから始める。その後、式の展開を利用して高次の対称式の値を順次計算していく。

解法1

$x+y=5$, $x^3+y^3=50$ が与えられている。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ の恒等式に、それぞれの値を代入する。

$$50 = 5^3 - 3xy \cdot 5$$

$$15xy = 125 - 50 = 75$$

よって、$xy = 5$ である。

ここで、実数 $x, y$ が存在することを確認しておく。$x, y$ は $t$ についての二次方程式 $t^2 - (x+y)t + xy = 0$、すなわち $t^2 - 5t + 5 = 0$ の2つの解である。この方程式の判別式を $D$ とすると、

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 5 > 0$$

となるため、条件を満たす実数 $x, y$ は確かに存在する。

次に、$x^2+y^2$ の値を求める。

$$\begin{aligned} x^2+y^2 &= (x+y)^2 - 2xy \\ &= 5^2 - 2 \cdot 5 \\ &= 25 - 10 \\ &= 15 \end{aligned}$$

最後に、$x^5+y^5$ の値を求める。$(x^2+y^2)$ と $(x^3+y^3)$ の積を展開すると、

$$\begin{aligned} (x^2+y^2)(x^3+y^3) &= x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5 \\ &= x^5+y^5 + x^2y^2(x+y) \end{aligned}$$

となることを利用する。これより、

$$\begin{aligned} x^5+y^5 &= (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y) \\ &= 15 \cdot 50 - 5^2 \cdot 5 \\ &= 750 - 125 \\ &= 625 \end{aligned}$$

以上により、求める値が得られる。

解説

対称式の値の計算に関する典型問題である。すべての対称式は基本対称式 $x+y$ と $xy$ を用いて表すことができるため、まずは $xy$ の値を求めることが解決への第一歩となる。

$x^5+y^5$ のような5次以上の対称式の値を求める場合は、次数を分けた対称式の積から不要な項を引くことで導出する手法が定石である。今回は $(x^2+y^2)$ と $(x^3+y^3)$ の積を利用したが、$x^n+y^n$ を求めるための漸化式 $x^{n+2}+y^{n+2} = (x+y)(x^{n+1}+y^{n+1}) - xy(x^n+y^n)$ を用いて、次数を1つずつ上げていく方法でも求めることができる。

また、問題文の「実数 $x, y$ が」という表現に注意し、求めた基本対称式の値が実際に実数解を持つか（判別式 $D \geqq 0$ であるか）を確認する習慣をつけておくと、論理的な穴を防ぐことができる。