数学2 式の値 問題 24 解説

方針・初手

与式を展開し、分母が同じ項どうしでまとめる方法と、各項の括弧内を先に通分する方法が考えられる。どちらの解法においても、条件式 $a+b+c=0$ を用いて文字を消去する（たとえば $b+c=-a$ のように変形する）ことがポイントとなる。

解法1

与式を展開し、分母が同じ項をまとめる。

$$a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$

$$= \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$$

分母が $a, b, c$ のものでそれぞれまとめる。

$$= \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}$$

条件より $a+b+c=0$ であるから、

$$b+c = -a$$

$$c+a = -b$$

$$a+b = -c$$

が成り立つ。$abc \neq 0$ より $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ であるから、これらを与式に代入する。

$$\frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} = -1 - 1 - 1 = -3$$

解法2

各項の括弧内を通分して計算する。

$$a\left(\frac{b+c}{bc}\right) + b\left(\frac{c+a}{ca}\right) + c\left(\frac{a+b}{ab}\right)$$

解法1と同様に $b+c = -a, c+a = -b, a+b = -c$ を代入する。

$$= a\left(\frac{-a}{bc}\right) + b\left(\frac{-b}{ca}\right) + c\left(\frac{-c}{ab}\right)$$

$$= -\frac{a^2}{bc} - \frac{b^2}{ca} - \frac{c^2}{ab}$$

全体を $abc$ で通分する。

$$= -\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$$

ここで、因数分解の公式より以下の等式が成り立つ。

$$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

$a+b+c=0$ であるから、右辺は $0$ となる。

$$a^3+b^3+c^3-3abc = 0$$

$$a^3+b^3+c^3 = 3abc$$

これを代入する。

$$-\frac{3abc}{abc} = -3$$

解説

対称式や交代式、輪環の順に並んだ式の扱い方を問う基本的な問題である。解法1のように展開してから分母が同じものでくくり直す方が、次数も上がらず計算ミスを防ぎやすい。解法2は3次式の因数分解公式 $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を利用する定石であり、この公式は入試で頻出であるため確実に押さえておきたい。

答え

$-3$