数学2 式の値 問題 25 解説

方針・初手

与えられた比例式の値を $k$ とおき、分母を払って連立方程式の形にする。その後、得られた複数の式を辺々足し合わせることで、$x+y+z$ の塊を作り出し、条件ごとに式の値を求める。

解法1

与えられた式の値を $k$ とおく。

$$\frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z} = k$$

分母を払うと、以下の3つの式が得られる。ただし、元の式の分母にあることから、$x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$ である。

$$\begin{aligned} y+z &= kx \quad \cdots (1) \\ z+x &= ky \quad \cdots (2) \\ x+y &= kz \quad \cdots (3) \end{aligned}$$

(1), (2), (3) の辺々をすべて加えると、

$$2(x+y+z) = k(x+y+z)$$

移行して整理すると、

$$(k-2)(x+y+z) = 0$$

となる。

(i) $x+y+z \neq 0$ のとき

両辺を $x+y+z$ で割ることができるため、

$$k-2 = 0$$

よって、$k=2$ である。 したがって、式の値は $2$ となる。 （このとき、$x=y=z$ であり、$x, y, z \neq 0$ を満たす）

(ii) $x+y+z = 0$ のとき

$y+z = -x$ と変形できる。 これを、与えられた一番左の式に代入すると、

$$k = \frac{y+z}{x} = \frac{-x}{x} = -1$$

となる。 したがって、式の値は $-1$ となる。 （このとき、$x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$ を満たす $x, y, z$ は存在する。例えば $x=1, y=1, z=-2$ など）

解説

複数の分数が等しいと与えられたときに、その値を文字 $k$ でおくのは比例式の問題における基本手技である。連立方程式を作って辺々を足し合わせることで、対称性を崩さずに共通因数を見つけ出すことができる。

また、共通因数でくくった方程式 $A \cdot B = 0$ から $A=0$ を導くためには $B \neq 0$ という条件が必要になるため、本問のように $x+y+z=0$ かどうかでの場合分けが不可欠である。本問は穴埋め形式であり、場合分けの誘導がなされているため、それに従って計算を進めればよい。

答え

イ: $2$

ウ: $-1$