数学2 分数式 問題 3 解説

方針・初手

各項の分母にある因数は、符号の違いを除けば $a-b$、$b-c$、$c-a$ の3種類である。そこで、分母が $(a-b)(b-c)(c-a)$ となるように各項の符号を調整して通分し、式を整理する。複数の文字を含む式は、1つの文字について整理してから因数分解を行うのが定石である。

解法1

(1)

与式の各項の分母は、マイナスをくくり出して符号を調整すると以下のようになる。

$$(a-b)(a-c) = -(a-b)(c-a)$$

$$(b-a)(b-c) = -(a-b)(b-c)$$

$$(c-a)(c-b) = -(b-c)(c-a)$$

これらを用いて与式を通分すると、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \frac{-1}{(a-b)(c-a)} + \frac{-1}{(a-b)(b-c)} + \frac{-1}{(b-c)(c-a)} \\ &= \frac{-(b-c) - (c-a) - (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ &= \frac{-b + c - c + a - a + b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ &= \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ &= 0 \end{aligned}$$

(2)

(1) と同様に分母を揃えて通分する。

$$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \frac{-a^3}{(a-b)(c-a)} + \frac{-b^3}{(a-b)(b-c)} + \frac{-c^3}{(b-c)(c-a)} \\ &= \frac{-a^3(b-c) - b^3(c-a) - c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \end{aligned}$$

ここで、分子を $P$ とおき、$P$ を $a$ について降べきの順に整理して因数分解する。

$$\begin{aligned} P &= -a^3(b-c) - b^3 c + ab^3 - ac^3 + bc^3 \\ &= -(b-c)a^3 + (b^3-c^3)a - bc(b^2-c^2) \\ &= -(b-c)a^3 + (b-c)(b^2+bc+c^2)a - bc(b-c)(b+c) \\ &= -(b-c) \{ a^3 - (b^2+bc+c^2)a + bc(b+c) \} \end{aligned}$$

波括弧の中をさらに $b$ について整理する。

$$\begin{aligned} a^3 - (b^2+bc+c^2)a + bc(b+c) &= a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2 c + bc^2 \\ &= (c-a)b^2 + c(c-a)b + a(a^2-c^2) \\ &= -(a-c)b^2 - c(a-c)b + a(a-c)(a+c) \\ &= -(a-c) \{ b^2 + cb - a(a+c) \} \\ &= -(a-c) \{ b^2 - a^2 + c(b-a) \} \\ &= -(a-c) \{ (b-a)(b+a) + c(b-a) \} \\ &= -(a-c)(b-a)(a+b+c) \\ &= -(a-b)(c-a)(a+b+c) \end{aligned}$$

したがって、分子 $P$ は次のように因数分解される。

$$\begin{aligned} P &= -(b-c) \{ -(a-b)(c-a)(a+b+c) \} \\ &= (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{aligned}$$

これを元の式に代入し、分母と約分する。

$$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \\ &= a+b+c \end{aligned}$$

解説

複数の文字が含まれる分数式の計算問題である。分母の因数が巡回的な形になっているため、共通分母を $(a-b)(b-c)(c-a)$ としてマイナスの符号を調整しながら通分する処理が第一歩となる。

(2) の分子は $a, b, c$ についての交代式となるため、必ず $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。因数分解を実行する際は、どれか1つの文字（今回は $a$ ）について降べきの順に整理し、共通因数を順次くくり出していく手順を踏むことで、見通しよく変形できる。

答え

(1) $0$

(2) $a+b+c$