数学2 恒等式 問題 4 解説

方針・初手

与えられた2つの条件式を用いて3つの変数 $a, b, c$ のうち2つを消去し、残った1つの変数についての恒等式として処理する。

解法1

条件として与えられた2つの等式を以下とおく。

$$\begin{cases} a - 2b + 2c + 1 = 0 & \cdots \text{(1)} \\ 3a + 2b - 6c + 1 = 0 & \cdots \text{(2)} \end{cases}$$

(1) と (2) の辺々を足すと、以下のようになる。

$$4a - 4c + 2 = 0$$

これを $c$ について解くと、以下のようになる。

$$c = a + \frac{1}{2} \cdots \text{(3)}$$

(3) を (1) に代入して整理する。

$$a - 2b + 2 \left( a + \frac{1}{2} \right) + 1 = 0$$

$$3a - 2b + 2 = 0$$

これを $b$ について解くと、以下のようになる。

$$b = \frac{3}{2}a + 1 \cdots \text{(4)}$$

(3), (4) より、$b, c$ をそれぞれ $a$ を用いて表すことができた。これらを問題の等式 $a^2x + b^2y + c^2z = 1$ に代入する。

$$a^2x + \left( \frac{3}{2}a + 1 \right)^2 y + \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 z = 1$$

展開して整理する。

$$a^2x + \left( \frac{9}{4}a^2 + 3a + 1 \right)y + \left( a^2 + a + \frac{1}{4} \right)z = 1$$

両辺を4倍する。

$$4a^2x + (9a^2 + 12a + 4)y + (4a^2 + 4a + 1)z = 4$$

$a$ について整理すると、以下のようになる。

$$(4x + 9y + 4z)a^2 + (12y + 4z)a + (4y + z - 4) = 0$$

問題文の条件より、上記の等式は「どんな実数 $a$ に対しても」成り立つ必要がある。すなわち、$a$ についての恒等式である。したがって、各係数が $0$ となるので、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} 4x + 9y + 4z = 0 & \cdots \text{(5)} \\ 12y + 4z = 0 & \cdots \text{(6)} \\ 4y + z - 4 = 0 & \cdots \text{(7)} \end{cases}$$

(6) より、以下の関係が導かれる。

$$z = -3y \cdots \text{(8)}$$

これを (7) に代入する。

$$4y - 3y - 4 = 0$$

$$y = 4$$

(8) に $y = 4$ を代入して、$z = -12$ を得る。

さらに、これらを (5) に代入して $x$ を求める。

$$4x + 9 \cdot 4 + 4 \cdot (-12) = 0$$

$$4x + 36 - 48 = 0$$

$$4x - 12 = 0$$

$$x = 3$$

以上より、求める値が得られる。

解説

「どんな〜に対しても成り立つ」という表現から、恒等式の問題であると判断できる。今回は見かけ上 $a, b, c$ の3変数が存在するが、2つの条件式が与えられているため、独立して動かせる変数は実質的に $3 - 2 = 1$ 個だけである。条件式を利用して1つの変数に統一し、その変数についての恒等式として係数比較を行うのが典型的な解法である。

答え

$x = 3, y = 4, z = -12$