数学2 恒等式 問題 10 解説

方針・初手

与えられた条件式 $x+y=2$ を用いて文字を1つ消去し、残った文字についての恒等式として処理するのが基本である。また、$x+y=2$ を満たす具体的な $(x, y)$ の値をいくつか代入し、必要条件から定数を求めた後、十分性を確認するアプローチも有効である。

解法1

$x+y=2$ より、$y=2-x$ である。

これを等式 $ax^2+bx+cy^2=1$ に代入する。

$$ax^2+bx+c(2-x)^2=1$$

左辺を展開して $x$ について整理する。

$$ax^2+bx+c(x^2-4x+4)=1$$

$$(a+c)x^2+(b-4c)x+(4c-1)=0$$

これがすべての $x$ に対して成り立つための条件は、各次数の係数がすべて $0$ となることである。

$$\begin{cases} a+c=0 \\ b-4c=0 \\ 4c-1=0 \end{cases}$$

第3式より、

$$c=\frac{1}{4}$$

これを第2式に代入して、

$$b-4 \cdot \frac{1}{4}=0$$

$$b=1$$

また、$c=\frac{1}{4}$ を第1式に代入して、

$$a+\frac{1}{4}=0$$

$$a=-\frac{1}{4}$$

解法2

等式が $x+y=2$ を満たすどのような $(x, y)$ に対しても成り立つので、具体的な値を代入して必要条件を求める。

(i) $x=0, y=2$ のとき

$$a \cdot 0^2+b \cdot 0+c \cdot 2^2=1$$

$$4c=1$$

これより、$c=\frac{1}{4}$ となる。

(ii) $x=2, y=0$ のとき

$$a \cdot 2^2+b \cdot 2+c \cdot 0^2=1$$

$$4a+2b=1$$

(iii) $x=1, y=1$ のとき

$$a \cdot 1^2+b \cdot 1+c \cdot 1^2=1$$

$$a+b+c=1$$

$c=\frac{1}{4}$ を代入すると、

$$a+b+\frac{1}{4}=1$$

$$a+b=\frac{3}{4}$$

これと $4a+2b=1$ を連立して解く。$a+b=\frac{3}{4}$ の両辺を2倍すると $2a+2b=\frac{3}{2}$ となるので、辺々引いて、

$$(4a+2b)-(2a+2b)=1-\frac{3}{2}$$

$$2a=-\frac{1}{2}$$

$$a=-\frac{1}{4}$$

このとき、$b=\frac{3}{4}-a=\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=1$ となる。

以上より、$a=-\frac{1}{4}, b=1, c=\frac{1}{4}$ が必要である。

逆にこのとき、与式の左辺は以下のようになる。

$$-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}y^2$$

ここで $y=2-x$ を代入する。

$$\begin{aligned} -\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}(2-x)^2 &= -\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}(4-4x+x^2) \\ &= -\frac{1}{4}x^2+x+1-x+\frac{1}{4}x^2 \\ &= 1 \end{aligned}$$

したがって、すべての $x, y$ に対して等式が成り立つことが示され、十分性が確認された。

解説

条件付きの恒等式の問題である。「すべての〜に対して成り立つ」という記述を見たら、恒等式の性質を利用する方針を立てる。

解法1の「文字を消去して1変数の恒等式に帰着させる」方法は、思考過程が素直であり計算量も少ないため、最も確実な解法である。

解法2の「数値を代入する」方法は、係数比較が煩雑になりそうな場合に有効である。ただし、この方法はあくまで「成り立たなければならない」という必要条件を求めているに過ぎないため、最後に求めた値を代入して実際に恒等式となるか（十分性）の確認を忘れないように注意が必要である。

答え

$a=-\frac{1}{4}, b=1, c=\frac{1}{4}$