数学2 恒等式 問題 15 解説

方針・初手

与えられた4次式 $x^4 + ax^3 + 11x^2 + bx + 1$ がある2次式の平方になることから、その2次式を文字でおいて展開し、元の式と係数を比較する方針をとる。最高次の項が $x^4$ であるため、2次式は $x^2 + px + q$ とおくことができる。

解法1

ある2次式を $x^2 + px + q$ （$p, q$ は実数）とおく。条件より、次式が $x$ についての恒等式となる。

$$x^4 + ax^3 + 11x^2 + bx + 1 = (x^2 + px + q)^2$$

右辺を展開して整理すると、

$$(x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pqx + q^2$$

両辺の同じ次数の項の係数を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} a = 2p \\ 11 = p^2 + 2q \\ b = 2pq \\ 1 = q^2 \end{cases}$$

第4式 $1 = q^2$ より、$q = 1$ または $q = -1$ である。それぞれについて場合分けを行う。

(i) $q = 1$ のとき

第2式に代入すると、

$$11 = p^2 + 2$$

$$p^2 = 9$$

よって、$p = 3$ または $p = -3$ となる。

$p = 3$ のとき、第1式と第3式より、$a = 6, b = 6$ となる。これらは整数であり条件を満たす。

$p = -3$ のとき、第1式と第3式より、$a = -6, b = -6$ となる。これらも整数であり条件を満たす。

(ii) $q = -1$ のとき

第2式に代入すると、

$$11 = p^2 - 2$$

$$p^2 = 13$$

よって、$p = \pm \sqrt{13}$ となる。

このとき、第1式より $a = \pm 2\sqrt{13}$ となるが、これは $a$ が整数であるという条件に反するため不適である。

以上 (i), (ii) より、求める $a, b$ の値の組は $(a, b) = (6, 6), (-6, -6)$ である。

解説

恒等式の係数比較を利用する典型問題である。平方となる2次式を $x^2 + px + q$ とおき、展開して係数を比較するだけの手順で解き進めることができる。計算の過程で $q^2 = 1$ が導かれるため、$q$ の値で場合分けをすることがポイントである。また、最後に $a, b$ が整数であるという問題文の条件を忘れずに確認し、不適な解を排除することが重要である。

答え

$a = 6, b = 6$ または $a = -6, b = -6$