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数学2 恒等式問題 18 解説

方針・初手

整式 $f(x)$ を決定する問題である。方針としては主に2つ考えられる。 1つ目は、$f(x)$ の最高次の項を文字で置き、与えられた恒等式の両辺の次数と最高次の係数を比較して $f(x)$ の次数を特定し、その後各項の係数を求める方法である。 2つ目は、与式の左辺 $f(x) + xf'(x)$ が積の導関数 $(xf(x))'$ に等しいことに着目し、両辺を積分して $f(x)$ を直接求める方法である。

解法1

右辺 $x(x-2)(x-3)$ は3次式であるため、$f(x)$ は定数関数ではない。 $f(x)$ を $n$ 次関数（$n \geqq 1$）とし、最高次の項を $px^n$ ($p \neq 0$) とおく。左辺 $f(x) + xf'(x)$ の最高次の項は、

$$px^n + x \cdot (npx^{n-1}) = p(n+1)x^n$$

となる。

一方で、右辺 $x(x-2)(x-3) = x^3 - 5x^2 + 6x$ の最高次の項は $x^3$ である。与式は $x$ についての恒等式であるから、両辺の最高次の項を比較して、

$$\begin{cases} n = 3 \\ p(n+1) = 1 \end{cases}$$

これを解くと、$n=3$、$p=\frac{1}{4}$ となる。したがって、$f(x)$ は3次関数である。

$f(x)$ を、条件にある2次、1次の項の係数 $a, b$ および定数項 $c$ を用いて次のように表す。

$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + bx + c$$

これを微分すると、

$$f'(x) = \frac{3}{4}x^2 + 2ax + b$$

これを与式の左辺に代入して整理する。

$$\begin{aligned} f(x) + xf'(x) &= \left( \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + bx + c \right) + x \left( \frac{3}{4}x^2 + 2ax + b \right) \\ &= x^3 + 3ax^2 + 2bx + c \end{aligned}$$

これが右辺 $x^3 - 5x^2 + 6x$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較して、

$$\begin{cases} 3a = -5 \\ 2b = 6 \\ c = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$a = -\frac{5}{3}, b = 3$ を得る。

解法2

与式の左辺は、積の導関数の公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、$(xf(x))'$ と変形できる。したがって、与式は次のように書き直せる。

$$(xf(x))' = x(x-2)(x-3) = x^3 - 5x^2 + 6x$$

両辺を $x$ について積分すると、積分定数を $C$ として、

$$xf(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + C$$

$f(x)$ は整式であるため、左辺 $xf(x)$ は $x=0$ のとき $0$ となる。よって右辺に $x=0$ を代入すると、

$$0 = C$$

となり、$C=0$ が定まる。これより、

$$xf(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2$$

$x \neq 0$ のとき、両辺を $x$ で割って、

$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{5}{3}x^2 + 3x$$

$f(x)$ は整式であるから、この等式は $x=0$ のときも含めすべての実数 $x$ で成り立つ。この結果から、$f(x)$ は3次関数であり、2次の項の係数 $a$ は $-\frac{5}{3}$、1次の項の係数 $b$ は $3$ であることがわかる。

解説

整式の決定問題における典型的な2つのアプローチを示した。解法1の「最高次を文字で置いて次数を決定し、その後係数比較を行う」方法は、恒等式の問題においてどのような関数に対しても適用しやすい王道の手法である。解法2の「$(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$ の関係を利用する」方法は、初歩的な積分方程式の考え方であり、式の形に気づくことができれば計算量を大幅に減らすことができる。計算ミスのリスクも減るため、ぜひ習得しておきたい発想である。