数学2 恒等式 問題 19 解説

方針・初手

与えられた等式が「すべての実数 $k$ に対して成立する」という条件から、この等式を $k$ についての恒等式と見なして処理する。

式を展開し、$k$ について整理したうえで、各係数が $0$ となるような条件を立式する。

解法1

与えられた等式

$$(k+1)x + (k-1)y - 5k + 1 = 0$$

の左辺を展開し、$k$ について整理する。

$$kx + x + ky - y - 5k + 1 = 0$$

$$(x + y - 5)k + (x - y + 1) = 0$$

この等式がすべての実数 $k$ に対して成り立つための必要十分条件は、$k$ の係数および定数項がともに $0$ となることである。したがって、次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}$$

これを整理して解く。

$$\begin{cases} x + y = 5 & \cdots \text{①} \\ x - y = -1 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

①と②を辺々加えると

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

これを①に代入すると

$$2 + y = 5$$

$$y = 3$$

よって、求める定数 $x, y$ の値が定まる。

解説

「すべての実数 $k$ に対して成り立つ」「任意の $k$ について成り立つ」「$k$ の値によらず成り立つ」といった表現は、その式が $k$ についての恒等式であることを意味する。

このような問題では、着目する文字（今回は $k$）について式を整理し、「（$k$ の係数）$ = 0$」かつ「（定数項）$ = 0$」とするのが最も標準的かつ確実な定石である。

図形的には、この問題は「直線 $(x+y-5)k + (x-y+1) = 0$ が $k$ の値によらず通る定点の座標を求めよ」という問題と同じ構造をしている。

答え

$x=2, y=3$