数学2 恒等式 問題 20 解説

方針・初手

与えられた2次式が $x, y$ の1次式の積に因数分解できるための条件は、主に2つのアプローチから考えられる。 1つは、与式を $x$（または $y$）についての2次方程式とみなしたとき、その解が $y$（または $x$）の1次式で表されることである。これは、解の公式を用いた際の根号の中身（判別式）が完全平方式になること、すなわち「判別式の判別式が0になる」という条件に帰着される。 もう1つは、2次の同次式の部分（$3x^2 + 5xy - 2y^2$）が因数分解できることを利用し、あらかじめ因数分解された形を文字を用いて設定し、恒等式の係数比較によって未知数を決定する方法である。

解法1

与えられた式を $x$ について整理し、$P$ とおく。

$$P = 3x^2 + (5y + 13)x - 2y^2 + 5y + k$$

$P = 0$ を $x$ についての2次方程式とみると、解の公式より

$$x = \frac{-(5y + 13) \pm \sqrt{(5y + 13)^2 - 12(-2y^2 + 5y + k)}}{6}$$

となる。 $P$ が $x, y$ の1次式の積に因数分解されるためには、この解 $x$ が $y$ の1次式で表されなければならない。 そのためには、根号の中の式（これを $x$ についての2次方程式の判別式 $D_1$ とする）が、$y$ についての完全平方式になる必要がある。

$$\begin{aligned} D_1 &= (5y + 13)^2 - 12(-2y^2 + 5y + k) \\ &= 25y^2 + 130y + 169 + 24y^2 - 60y - 12k \\ &= 49y^2 + 70y + 169 - 12k \end{aligned}$$

$D_1$ が完全平方式になるための条件は、$D_1 = 0$ を $y$ についての2次方程式とみたときの判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ が成り立つことである。

$$\frac{D_2}{4} = 35^2 - 49(169 - 12k) = 0$$

両辺を $49$ で割る。

$$\begin{aligned} 25 - (169 - 12k) &= 0 \\ 12k - 144 &= 0 \\ 12k &= 144 \\ k &= 12 \end{aligned}$$

解法2

与式の2次の項からなる部分 $3x^2 + 5xy - 2y^2$ を因数分解する。

$$3x^2 + 5xy - 2y^2 = (3x - y)(x + 2y)$$

与式が $x, y$ の1次式の積に因数分解できるとすると、定数 $a, b$ を用いて次のように表すことができる。

$$3x^2 + 5xy - 2y^2 + 13x + 5y + k = (3x - y + a)(x + 2y + b)$$

右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} &(3x - y + a)(x + 2y + b) \\ &= 3x^2 + 6xy + 3bx - xy - 2y^2 - by + ax + 2ay + ab \\ &= 3x^2 + 5xy - 2y^2 + (a + 3b)x + (2a - b)y + ab \end{aligned}$$

これが元の式と恒等的に等しくなるので、各項の係数を比較する。

$$\begin{cases} a + 3b = 13 & \dots \text{①} \\ 2a - b = 5 & \dots \text{②} \\ ab = k & \dots \text{③} \end{cases}$$

②より、$b = 2a - 5$。 これを①に代入する。

$$\begin{aligned} a + 3(2a - 5) &= 13 \\ 7a - 15 &= 13 \\ 7a &= 28 \\ a &= 4 \end{aligned}$$

$a = 4$ を $b = 2a - 5$ に代入すると、$b = 3$ となる。 したがって、③より $k$ の値を求める。

$$k = ab = 4 \times 3 = 12$$

解説

2変数2次式が1次式の積に因数分解できる条件を問う典型問題である。 解法1の「判別式の判別式が0」というアプローチは、一般の2変数2次式に対して常に適用できる強力な手法である。 解法2の「恒等式による係数比較」は、2次の同次式部分（$x^2, xy, y^2$ の項）が容易に因数分解できる場合に計算量が少なくなり、見通しが良くなることが多い。本問のように2次の同次式が実数係数で因数分解できる場合は、解法2の方が計算ミスを防ぎやすい。

答え

$k = 12$