数学2 不等式の証明 問題 3 解説

方針・初手

大小比較の基本に従い、差 $(a+d) - (b+c)$ の符号を調べる。「$a$ が最小」という条件を数式化し、与えられた不等式 $ad > bc$ と組み合わせることで、目的の差を含む式を作り出す。

解法1

$a$ は $a, b, c, d$ の中で最小の実数であるから、

$$b \ge a \quad \text{かつ} \quad c \ge a$$

が成り立つ。これを変形すると、

$$b - a \ge 0, \quad c - a \ge 0$$

となる。これらを掛け合わせると、

$$(b - a)(c - a) \ge 0$$

これを展開して整理すると、

$$bc - ab - ac + a^2 \ge 0$$

$$bc \ge ab + ac - a^2$$

となる。ここで、問題の条件 $ad > bc$ を用いると、

$$ad > ab + ac - a^2$$

が得られる。すべての項を左辺に集めて整理すると、

$$a^2 - ab - ac + ad > 0$$

$$a(a - b - c + d) > 0$$

となる。

ここで、$a = 0$ と仮定すると、左辺は $0$ となり $0 > 0$ という不合理な式が得られる。したがって、$a \neq 0$ であることがわかる。

ゆえに、$a$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

不等式 $a(a - b - c + d) > 0$ の両辺を正の数 $a$ で割ると、不等号の向きは変わらず、

$$a - b - c + d > 0$$

$$(a + d) - (b + c) > 0$$

となる。したがって、$a + d > b + c$ である。

(ii) $a < 0$ のとき

不等式 $a(a - b - c + d) > 0$ の両辺を負の数 $a$ で割ると、不等号の向きが反転して、

$$a - b - c + d < 0$$

$$(a + d) - (b + c) < 0$$

となる。したがって、$a + d < b + c$ である。

解説

「$a$ が最小」という日本語の条件を $b - a \ge 0, c - a \ge 0$ と数式に翻訳し、それらの積を考えることで $bc$ を作り出す発想が最大のポイントである。

得られた不等式に条件の $ad > bc$ を適用することで、自然と調べたい差 $(a+d) - (b+c)$ が括り出される仕組みになっている。また、$a(a - b - c + d) > 0$ から直ちに結論を出すのではなく、$a = 0$ が不適であることを確認した上で、$a$ の正負による場合分けを忘れずに行う論理的な慎重さが求められる。

答え

$a > 0$ のとき $a + d > b + c$

$a < 0$ のとき $a + d < b + c$