数学2 不等式の証明 問題 6 解説

方針・初手

2つの数

$$ x=\frac{a}{b},\qquad y=\frac{a+3b}{a+b} $$

を考える。$\sqrt{3}$ が $x,y$ の間にあることを示すには、$x-\sqrt{3}$ と $y-\sqrt{3}$ の符号が逆であることを示せばよい。

実際に差を計算すると、どちらにも $a-b\sqrt{3}$ が現れ、符号が反対になる。

解法1

まず

$$ \frac{a}{b}-\sqrt{3}=\frac{a-b\sqrt{3}}{b} $$

である。

次に

$$ \frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3} =\frac{a+3b-\sqrt{3}(a+b)}{a+b} $$

であるが、分子を整理すると

$$ \begin{aligned} a+3b-\sqrt{3}(a+b) &=a-\sqrt{3}a+3b-\sqrt{3}b\\ &=-(\sqrt{3}-1)a+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)b\\ &=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}b-a)\\ &=-(\sqrt{3}-1)(a-b\sqrt{3}) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3} =-\frac{\sqrt{3}-1}{a+b}(a-b\sqrt{3}) $$

したがって

$$ \left(\frac{a}{b}-\sqrt{3}\right)\left(\frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}-1}{b(a+b)}(a-b\sqrt{3})^2 $$

を得る。

ここで $a,b$ は正の整数であるから

$$ b>0,\qquad a+b>0,\qquad \sqrt{3}-1>0 $$

であり、また $\sqrt{3}$ は無理数なので $a-b\sqrt{3}\neq 0$ である。したがって

$$ -\frac{\sqrt{3}-1}{b(a+b)}(a-b\sqrt{3})^2<0 $$

すなわち

$$ \left(\frac{a}{b}-\sqrt{3}\right)\left(\frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3}\right)<0 $$

である。

よって $\dfrac{a}{b}-\sqrt{3}$ と $\dfrac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3}$ の符号は逆であるから、$\sqrt{3}$ は

$$ \frac{a}{b},\qquad \frac{a+3b}{a+b} $$

の間にある。

解説

この問題の要点は、$\sqrt{3}$ との差を直接比べることである。

$$ \frac{a}{b}-\sqrt{3},\qquad \frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3} $$

をそれぞれ整理すると、どちらも $a-b\sqrt{3}$ を因子にもつ。その結果、後者は前者の負の定数倍になり、符号が必ず逆になる。これにより、$\sqrt{3}$ が2数の間にあることが一気に分かる。

答え

$$ \left(\frac{a}{b}-\sqrt{3}\right)\left(\frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{3}\right)<0 $$

であるから、

$$ \min\left\{\frac{a}{b},\frac{a+3b}{a+b}\right\} <\sqrt{3}< \max\left\{\frac{a}{b},\frac{a+3b}{a+b}\right\} $$

すなわち、$\sqrt{3}$ は $\dfrac{a}{b}$ と $\dfrac{a+3b}{a+b}$ の間にある。