数学2 不等式の証明 問題 7 解説

方針・初手

不等式の証明の基本である「(右辺) - (左辺) $\geqq 0$」を示す方針をとる。 両辺の差を計算し、与えられた条件 $a \geqq b$ および $x \geqq y$ が使える形になるように因数分解を行う。

解法1

右辺と左辺の差をとって計算する。

$$ \frac{ax+by}{2} - \frac{a+b}{2} \cdot \frac{x+y}{2} $$

分母を $4$ に通分して分子を展開する。

$$ = \frac{2(ax+by) - (a+b)(x+y)}{4} $$

$$ = \frac{2ax + 2by - (ax + ay + bx + by)}{4} $$

$$ = \frac{ax - ay - bx + by}{4} $$

分子を因数分解する。

$$ = \frac{a(x-y) - b(x-y)}{4} $$

$$ = \frac{(a-b)(x-y)}{4} $$

ここで、問題の条件 $a \geqq b$、$x \geqq y$ より、

$$ a-b \geqq 0 $$

$$ x-y \geqq 0 $$

であるから、

$$ (a-b)(x-y) \geqq 0 $$

となる。したがって、

$$ \frac{(a-b)(x-y)}{4} \geqq 0 $$

が成り立つ。ゆえに、

$$ \frac{a+b}{2} \cdot \frac{x+y}{2} \leqq \frac{ax+by}{2} $$

が示された。等号成立は $a=b$ または $x=y$ のときである。

解説

不等式の証明における最も標準的な「差をとって $0$ 以上であることを示す」手法の典型問題である。 式を展開して整理したのち、条件式である $a-b \geqq 0$ と $x-y \geqq 0$ の積の形を作り出すことがポイントである。 なお、この不等式は「チェビシェフの不等式」の変数が2つの場合（$n=2$）に相当する。大小関係が同じ順序である2つの数列の積の和に関する有名な不等式である。

答え

与えられた不等式が成り立つことが示された（等号成立は $a=b$ または $x=y$ のとき）。