数学2 不等式の証明問題 9 解説

方針・初手

(1)は、不等式の証明の基本である（右辺）－（左辺）$\geqq 0$ を示す方針をとる。あるいは関数 $f(t) = \frac{t}{1+t}$ の単調性を利用してもよい。 (2)は、絶対値を含む不等式の基本である。両辺が0以上であることを確認したうえで、両辺の平方の差を計算する。 (3)は、(1)と(2)の結果を誘導として用いる。(2)で得られる不等式を(1)の $x, y$ に適用し、さらに各項の分母を小さくすることで値を大きくする評価を行う。

解法1

(1)

（右辺）－（左辺）を計算する。

$$ \frac{y}{1+y} - \frac{x}{1+x} = \frac{y(1+x) - x(1+y)}{(1+x)(1+y)} $$

$$ = \frac{y + xy - x - xy}{(1+x)(1+y)} = \frac{y-x}{(1+x)(1+y)} $$

条件より $0 \leqq x \leqq y$ であるから、$y-x \geqq 0$、$1+x > 0$、$1+y > 0$ である。

したがって、

$$ \frac{y-x}{(1+x)(1+y)} \geqq 0 $$

となるため、

$$ \frac{x}{1+x} \leqq \frac{y}{1+y} $$

が成り立つ。等号成立は $x=y$ のときである。

(2)

$|a+b| \geqq 0$、$|a|+|b| \geqq 0$ であるから、両辺の平方の差を調べる。

$$ (|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 = (|a|^2 + 2|a||b| + |b|^2) - (a+b)^2 $$

$$ = (a^2 + 2|ab| + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) $$

$$ = 2(|ab| - ab) $$

任意の実数 $X$ について $X \leqq |X|$ が成り立つので、$ab \leqq |ab|$、すなわち $|ab| - ab \geqq 0$ である。

ゆえに、

$$ (|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 \geqq 0 $$

$$ (|a+b|)^2 \leqq (|a|+|b|)^2 $$

両辺ともに0以上であるため、

$$ |a+b| \leqq |a|+|b| $$

が成り立つ。等号成立は $|ab| = ab$、すなわち $ab \geqq 0$ のときである。

(3)

(2)より、

$$ |a+b| \leqq |a|+|b| $$

が成り立つ。ここで、$|a+b| \geqq 0$、$|a|+|b| \geqq 0$ であるから、(1)の不等式において $x = |a+b|$、$y = |a|+|b|$ とすると、$0 \leqq x \leqq y$ を満たす。

したがって、(1)より、

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} $$

が成り立つ。この右辺を分母を変えずに分けると、

$$ \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} = \frac{|a|}{1+|a|+|b|} + \frac{|b|}{1+|a|+|b|} $$

となる。

ここで、$|b| \geqq 0$ より $1+|a|+|b| \geqq 1+|a| > 0$ である。$|a| \geqq 0$ であるから、分母を小さくすると全体の値は小さくならないため、

$$ \frac{|a|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|} $$

が成り立つ。同様に、$|a| \geqq 0$ より $1+|a|+|b| \geqq 1+|b| > 0$ であるから、

$$ \frac{|b|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|b|}{1+|b|} $$

が成り立つ。

以上の不等式を辺々足し合わせると、

$$ \frac{|a|}{1+|a|+|b|} + \frac{|b|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} $$

となる。

よって、

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} $$

となり、

$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} $$

が示された。

解説

前問の結果を利用して次の問題を解く、典型的な誘導問題である。(3)において、(1)と(2)の結果を組み合わせた後、分数の足し算を分割し、それぞれの項について「分母を小さくすることで全体の値を大きくする（あるいは等しく保つ）」という評価を行うのがポイントである。この分母の評価は、極限や不等式証明で頻出の手法であるため、確実に押さえておきたい。