数学2 不等式の証明 問題 10 解説

方針・初手

与えられた2つの不等式のうち、まずは前半の $x^3+y^3+z^3 \geqq 3xyz$ の証明を行う。これには、$x^3+y^3+z^3-3xyz$ の因数分解公式を利用する。後半の不等式については、前半で示した不等式の変数 $x, y, z$ をそれぞれ $\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{y}, \sqrt[3]{z}$ に置き換えることで導出する。

解法1

まず、$x^3+y^3+z^3 \geqq 3xyz$ が成り立つことを示す。 左辺と右辺の差をとり、因数分解を行う。

$$\begin{aligned} x^3+y^3+z^3 - 3xyz &= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \\ &= \frac{1}{2}(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx) \\ &= \frac{1}{2}(x+y+z) \left\{ (x^2-2xy+y^2) + (y^2-2yz+z^2) + (z^2-2zx+x^2) \right\} \\ &= \frac{1}{2}(x+y+z) \left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\} \end{aligned}$$

前提条件より $x, y, z$ は正の実数であるから、$x+y+z > 0$ である。

また、実数の2乗は0以上であるから、$(x-y)^2 \geqq 0$, $(y-z)^2 \geqq 0$, $(z-x)^2 \geqq 0$ であり、

$$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geqq 0$$

が成り立つ。

したがって、これらの積は0以上となるため、

$$\frac{1}{2}(x+y+z) \left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\} \geqq 0$$

すなわち、

$$x^3+y^3+z^3 - 3xyz \geqq 0$$

ゆえに、

$$x^3+y^3+z^3 \geqq 3xyz$$

が成り立つ。（等号成立は $x=y=z$ のとき）

次に、後半の $\frac{x+y+z}{3} \geqq \sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことを示す。

$x, y, z$ は正の実数であるから、$\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{y}, \sqrt[3]{z}$ も正の実数である。

ここで、前半で証明した不等式 $a^3+b^3+c^3 \geqq 3abc \quad (a,b,c>0)$ に対して、$a = \sqrt[3]{x}, b = \sqrt[3]{y}, c = \sqrt[3]{z}$ を代入する。

$$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 + (\sqrt[3]{z})^3 \geqq 3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{z}$$

これを計算すると、

$$x + y + z \geqq 3 \sqrt[3]{xyz}$$

となる。両辺を3で割ると、

$$\frac{x+y+z}{3} \geqq \sqrt[3]{xyz}$$

が導かれる。（等号成立は $\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{z}$ すなわち $x=y=z$ のとき）

以上より、題意の2つの不等式が成り立つことが示された。

解説

前半は有名な因数分解の公式と平方完成を組み合わせた非負性の証明であり、標準的な手法である。

後半の不等式は、いわゆる「3変数の相加平均と相乗平均の大小関係」そのものである。一般に相加・相乗平均の関係の証明にはいくつかの方法があるが、本問は前半の不等式（3乗の和）が誘導となっており、文字の置き換えによって直ちに導くことができる。

答え

前半は $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z) \left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\} \geqq 0$ により示された。

後半は前半の不等式に $\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{y}, \sqrt[3]{z}$ を代入することで示された。