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数学2 不等式の証明問題 11 解説

方針・初手

3つの数の大小を比較する基本は、差をとってその正負を調べることである。計算を効率よく進めるために、まず $a=2$ などの具体的な値を代入して大小関係の予想を立てるとよい。

解法1

$a=2$ のとき、与えられた3つの式はそれぞれ以下の値をとる。

$$\frac{a+2}{a+1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$$

$$\sqrt{2} \approx 1.41$$

このことから、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ であると予想できる。この予想にしたがって、各要素の差を計算する。

まず、$\sqrt{2}$ と $\frac{a+2}{a+1}$ の差を調べる。

$$\begin{aligned} \sqrt{2} - \frac{a+2}{a+1} &= \frac{\sqrt{2}(a+1) - (a+2)}{a+1} \\ &= \frac{(\sqrt{2}-1)a - (2-\sqrt{2})}{a+1} \\ &= \frac{(\sqrt{2}-1)a - \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{a+1} \\ &= \frac{(\sqrt{2}-1)(a-\sqrt{2})}{a+1} \end{aligned}$$

条件 $a > \sqrt{2}$ より、$a-\sqrt{2} > 0$ かつ $a+1 > \sqrt{2}+1 > 0$ である。また、$\sqrt{2}-1 > 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{(\sqrt{2}-1)(a-\sqrt{2})}{a+1} > 0$$

よって、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$ である。

次に、$\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ と $\sqrt{2}$ の差を調べる。

$$\begin{aligned} \left( \frac{a}{2} + \frac{1}{a} \right) - \sqrt{2} &= \frac{a^2 + 2 - 2\sqrt{2}a}{2a} \\ &= \frac{(a-\sqrt{2})^2}{2a} \end{aligned}$$

条件 $a > \sqrt{2}$ より、$(a-\sqrt{2})^2 > 0$ かつ $2a > 2\sqrt{2} > 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{(a-\sqrt{2})^2}{2a} > 0$$

よって、$\sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ である。

以上より、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ となる。

解法2

$\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ と $\sqrt{2}$ の大小比較について、相加平均と相乗平均の大小関係を用いる方法を示す。

条件 $a > \sqrt{2}$ より $a > 0$ であるから、$\frac{a}{2} > 0$, $\frac{1}{a} > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} \geqq 2\sqrt{\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$$

等号が成立するのは $\frac{a}{2} = \frac{1}{a}$ のとき、すなわち $a^2 = 2$ より $a = \sqrt{2}$ のときであるが、条件 $a > \sqrt{2}$ より等号は成立しない。

したがって、$\sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ であることがわかる。

$\frac{a+2}{a+1}$ と $\sqrt{2}$ の大小比較は解法1と同様に差をとることで、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2}$ を得る。

以上より、$\frac{a+2}{a+1} < \sqrt{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ となる。

解説

3つの数の大小比較では、すべての組み合わせの差を計算するのは時間がかかるため、具体的な数値を代入してあらかじめ大小関係の当たりをつける手法が有効である。本問では $a=2$ などの値を代入して計算の道筋を立てることで、見通しよく解答できる。

また、式の特徴を見抜くことも重要である。$\frac{a}{2} + \frac{1}{a}$ の形を見れば、相加平均と相乗平均の大小関係が利用できることに気づきやすい。さらに、$a > \sqrt{2}$ という条件が、等号成立条件を外し真の不等号を確定させるための条件として機能していることもわかる。