数学2 不等式の証明問題 16 解説

方針・初手

(1)は（右辺）ー（左辺）$\geqq 0$ を計算して示す基本的な不等式の証明である。

(2)は(1)の結果を繰り返し利用することで示すことができる。(1)の不等式において、特定の値を代入して拡張していく。

解法1

(1)

両辺の差を計算する。

$$\begin{aligned} \left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2 - (1+x)(1+y) &= 1 + (x+y) + \frac{(x+y)^2}{4} - (1 + x + y + xy) \\ &= \frac{x^2+2xy+y^2}{4} - xy \\ &= \frac{x^2-2xy+y^2}{4} \\ &= \frac{(x-y)^2}{4} \end{aligned}$$

$x, y$ は実数であるから $(x-y)^2 \geqq 0$ が成り立つ。したがって、

$$\left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2 - (1+x)(1+y) \geqq 0$$

すなわち

$$(1+x)(1+y) \leqq \left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2$$

が示された。

また、等号が成立するのは $(x-y)^2 = 0$ より $x = y$ のときである。

(2)

(1)の不等式に $x=a, y=b$ および $x=c, y=d$ をそれぞれ代入すると

$$(1+a)(1+b) \leqq \left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2$$

$$(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2$$

となる。ここで、$a, b, c, d \geqq -1$ より $1+a \geqq 0, 1+b \geqq 0, 1+c \geqq 0, 1+d \geqq 0$ であるから、上記2つの不等式の両辺はすべて $0$ 以上である。よって、辺々を掛け合わせることができて、

$$(1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2 \left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2$$

が成り立つ。

次に、(1)の不等式に $x = \frac{a+b}{2}, y = \frac{c+d}{2}$ を代入すると

$$\left(1+\frac{a+b}{2}\right)\left(1+\frac{c+d}{2}\right) \leqq \left( 1 + \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{c+d}{2}}{2} \right)^2 = \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^2$$

となる。$a, b, c, d \geqq -1$ より $\frac{a+b}{2} \geqq -1, \frac{c+d}{2} \geqq -1$ であるから、この不等式の両辺も $0$ 以上である。したがって、両辺を2乗しても不等号の向きは変わらず、

$$\left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2\left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2 \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4$$

が成り立つ。以上より、

$$(1+a)(1+b)(1+c)(1+d) \leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4$$

が示された。

等号が成立するのは、用いたすべての不等式で等号が成立するときである。すなわち、

$$a = b \quad \text{かつ} \quad c = d \quad \text{かつ} \quad \frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2}$$

が同時に成り立つときである。これを解くと $a=b=c=d$ となる。

解説

(1)は平方完成の形に持ち込む基本的な不等式の証明である。

(2)は(1)の結果を利用して変数の数を拡張していく手法を用いる。不等式の辺々を掛け合わせる際や両辺を2乗する際には、両辺が $0$ 以上であることの確認が論理的に必要となるため、条件 $a, b, c, d \geqq -1$ の使いどころを見落とさないようにしたい。本問は相加平均・相乗平均の関係と似た構造を持っており、より一般的な不等式の証明の背景となる考え方を含んでいる。