数学2 不等式の証明 問題 21 解説

方針・初手

不等式の証明の基本に従い、$($右辺$) - ($左辺$) > 0$ であることを示す。

左辺と右辺の差をとった式 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ は、どの文字についても対称な2次式である。実数の2乗が0以上になる性質（$X^2 \ge 0$）を利用するため、この式を平方完成の形に変形する。

解法1

示すべき不等式は、移項すると次のようになる。

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca > 0$$

この式の左辺を $2$ 倍し、$2$ で割ることで式変形を行う。

$$\begin{aligned} & a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \\ &= \frac{1}{2} \left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right\} \end{aligned}$$

$a, b, c$ は実数であるから、それぞれの2乗は0以上となる。

$$(b-c)^2 \ge 0, \quad (c-a)^2 \ge 0$$

また、問題の条件から $a \neq b$ であるため、次が成り立つ。

$$(a-b)^2 > 0$$

したがって、これらの和は必ず正の値をとる。

$$\frac{1}{2} \left\{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right\} > 0$$

よって、$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca > 0$ であり、移項して $ab + bc + ca < a^2 + b^2 + c^2$ が成り立つことが示された。

解法2

左辺と右辺の差をとり、$1$つの文字（ここでは $c$）に着目して整理し、平方完成を行う。

$$\begin{aligned} & a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) \\ &= c^2 - (a+b)c + a^2 - ab + b^2 \\ &= \left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 - \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 + a^2 - ab + b^2 \\ &= \left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} + \frac{4a^2 - 4ab + 4b^2}{4} \\ &= \left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 + \frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{4} \\ &= \left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} (a-b)^2 \end{aligned}$$

$a, b, c$ は実数であるから、実数の2乗の性質より次が成り立つ。

$$\left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 \ge 0$$

さらに、条件 $a \neq b$ より $(a-b)^2 > 0$ であるから、次が成り立つ。

$$\frac{3}{4} (a-b)^2 > 0$$

したがって、これらを足し合わせたものは正となる。

$$\left( c - \frac{a+b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} (a-b)^2 > 0$$

よって、$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) > 0$ となり、$ab + bc + ca < a^2 + b^2 + c^2$ が成り立つことが示された。

解説

式 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ を $\frac{1}{2} \{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \}$ と変形する手法は、対称式の処理として極めて頻出の手筋である。

一般に、実数 $a, b, c$ において $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ は常に成り立ち、等号が成立するのは $a=b=c$ のときのみである。本問では前提条件として $a \neq b$ が与えられているため、$a=b=c$ となることはなく、等号を含まない厳密な不等号（$<$）が成り立つ。

解法2のように1文字について整理して平方完成する方法は、変形の技巧を必要としないため、対称性に気づかなかった場合でも確実に解にたどり着ける汎用性の高い方針である。

答え

$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) > 0$ となることが示され、題意の不等式は証明された。