数学2 不等式の証明問題 22 解説

方針・初手

与えられた不等式を整理し、$a$ についての関数 $f(a)$ として捉える。任意の実数（または整数）$a$ で $f(a) \geqq 0$ が成り立つ条件を考える。

すべての場合において成り立つ絶対不等式の問題では、扱いやすい具体的な値を代入して必要条件を求め、あらかじめ未知数 $b$ の候補を絞り込む手法が有効である。本問では $a=0$ や $a=b$ などの値を代入することで $b$ の範囲を絞り込み、その後、微分を用いて最小値を評価して十分性を確認する。

解法1

(1) について

不等式を整理し、$f(a) = a^4 - a^3 - ab^2 + b^3$ とおく。任意の実数 $a$ について $f(a) \geqq 0$ が成り立つことが条件である。

必要条件として、特定の値を代入する。 $a=0$ を代入すると、

$$f(0) = b^3 \geqq 0$$

より $b \geqq 0$ を得る。

また、$a=b$ を代入すると、

$$f(b) = b^4 - b^3 - b^3 + b^3 = b^3(b-1) \geqq 0$$

となる。$b \geqq 0$ と合わせると、$b=0$ または $b \geqq 1$ であることが必要である。

(i) $b=0$ のとき

不等式は $a^4 - a^3 \geqq 0$ すなわち $a^3(a-1) \geqq 0$ となる。しかし、$a = \frac{1}{2}$ のとき、左辺は $\frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{16} < 0$ となり、任意の実数 $a$ については成り立たない。

(ii) $b \geqq 1$ のとき

$f(a)$ を微分すると、

$$f'(a) = 4a^3 - 3a^2 - b^2$$

$$f''(a) = 12a^2 - 6a = 6a(2a - 1)$$

となる。$f'(a)$ は $a=0$ で極大値 $-b^2$、$a=\frac{1}{2}$ で極小値 $-\frac{1}{4} - b^2$ をとる。 $b \geqq 1$ のとき、極大値も極小値も負であり、また $a \to \infty$ のとき $f'(a) \to \infty$ であるから、方程式 $f'(a) = 0$ は $\alpha > \frac{1}{2}$ の範囲にただ1つの実数解 $a = \alpha$ をもつ。このとき、関数 $f(a)$ は $a = \alpha$ で最小値 $f(\alpha)$ をとる。

$f'(\alpha) = 0$ より $b^2 = 4\alpha^3 - 3\alpha^2$ である。ここで $h(\alpha) = 4\alpha^3 - 3\alpha^2$ とおくと、$\alpha > \frac{1}{2}$ において $h'(\alpha) = 6\alpha(2\alpha - 1) > 0$ より $h(\alpha)$ は単調増加する。 $b \geqq 1$ より $b^2 \geqq 1$ であり、$h(1) = 1$ であるから、$\alpha \geqq 1$ が成り立つ。

最小値 $f(\alpha)$ は次のように計算できる。

$$f(\alpha) = \alpha^4 - \alpha^3 - \alpha b^2 + b^3$$

$$f(\alpha) = \alpha^4 - \alpha^3 - \alpha(4\alpha^3 - 3\alpha^2) + b^3 = -3\alpha^4 + 2\alpha^3 + b^3$$

これが $0$ 以上であることを示せばよい。 $b = \sqrt{4\alpha^3 - 3\alpha^2} = \alpha\sqrt{4\alpha - 3}$ であるから、$f(\alpha) \geqq 0$ は次と同値である。

$$\alpha^3(4\alpha - 3)\sqrt{4\alpha - 3} \geqq \alpha^3(3\alpha - 2)$$

$\alpha \geqq 1$ より $\alpha^3 > 0$ であるから、両辺を割って整理する。

$$(4\alpha - 3)\sqrt{4\alpha - 3} \geqq 3\alpha - 2$$

$\alpha \geqq 1$ において左辺および右辺はともに正であるため、両辺を2乗して大小を比較する。

$$(4\alpha - 3)^3 - (3\alpha - 2)^2 = (64\alpha^3 - 144\alpha^2 + 108\alpha - 27) - (9\alpha^2 - 12\alpha + 4)$$

$$= 64\alpha^3 - 153\alpha^2 + 120\alpha - 31$$

因数定理を用いて変形すると、

$$= (\alpha - 1)(64\alpha^2 - 89\alpha + 31)$$

ここで、２次方程式 $64\alpha^2 - 89\alpha + 31 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = (-89)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 31 = 7921 - 7936 = -15 < 0$ より、すべての実数 $\alpha$ について $64\alpha^2 - 89\alpha + 31 > 0$ である。 $\alpha \geqq 1$ より $\alpha - 1 \geqq 0$ であるから、以上の結果より $(\alpha - 1)(64\alpha^2 - 89\alpha + 31) \geqq 0$ が常に成り立つ。したがって $f(\alpha) \geqq 0$ が示され、$b \geqq 1$ のとき任意の実数 $a$ に対して $f(a) \geqq 0$ が成り立つことが確認できた。

以上より、求める実数 $b$ の値の範囲は $b \geqq 1$ である。

(2) について

任意の整数 $a$ について $f(a) \geqq 0$ が成り立つような整数 $b$ の値を求める。

(1) と同様に、$a=0$ および $a=b$ を代入することで、必要条件として $b=0$ または $b \geqq 1$ が得られる。 (1) の結果から、$b \geqq 1$ を満たす任意の整数 $b$ については、すべての実数 $a$ で $f(a) \geqq 0$ が成り立つため、当然すべての整数 $a$ でも成り立つ。

残る $b=0$ のときを検証する。不等式は $a^3(a-1) \geqq 0$ となる。 $a$ が整数のとき、 $a \leqq 0$ ならば $a^3 \leqq 0$ かつ $a-1 < 0$ より、$a^3(a-1) \geqq 0$ である。 $a \geqq 1$ ならば $a^3 > 0$ かつ $a-1 \geqq 0$ より、$a^3(a-1) \geqq 0$ である。よって、$b=0$ のときは任意の整数 $a$ に対して不等式が成立する。

したがって、求める整数 $b$ の値は $0$ 以上の整数である。