数学2 不等式の証明問題 24 解説

方針・初手

各小問に共通して、式に現れる指数関数を $X=2^a, Y=2^b, Z=2^c$ などと文字で置き換え、整式の不等式として扱うと見通しが良くなる。$a, b, c$ は自然数であるから、置き換えた文字について $X \geqq 2, Y \geqq 2, Z \geqq 2$ となることを活用し、式を因数分解の形に変形して評価する。

解法1

(1)

$X = 2^a, Y = 2^b$ とおく。 $a, b$ は自然数であるから $a \geqq 1, b \geqq 1$ であり、$X \geqq 2, Y \geqq 2$ となる。示すべき不等式は $XY \geqq X + Y$、すなわち $XY - X - Y \geqq 0$ である。左辺を次のように変形する。

$$XY - X - Y = (X - 1)(Y - 1) - 1$$

$X \geqq 2, Y \geqq 2$ より $X - 1 \geqq 1, Y - 1 \geqq 1$ であるから、

$$(X - 1)(Y - 1) \geqq 1 \cdot 1 = 1$$

したがって、

$$(X - 1)(Y - 1) - 1 \geqq 0$$

となり、$XY - X - Y \geqq 0$ が成り立つ。以上より、$2^{a+b} \geqq 2^a + 2^b$ が示された。（等号成立は $X=2, Y=2$ すなわち $a=1, b=1$ のとき）

(2)

さらに $Z = 2^c$ とおく。$c \geqq 1$ より $Z \geqq 2$ である。示すべき不等式は $XYZ \geqq X + Y + Z + 2$ である。 (1)の証明の過程から、$XY - X - Y \geqq 0$ すなわち $XY \geqq X + Y$ である。また、$X \geqq 2, Y \geqq 2$ より $XY \geqq 4$ であるから、$XY - 1 \geqq 3$ となる。ここで、$XYZ - XY - Z$ について考えると、

$$XYZ - XY - Z = (XY - 1)(Z - 1) - 1$$

$XY - 1 \geqq 3, Z - 1 \geqq 1$ であるから、

$$(XY - 1)(Z - 1) - 1 \geqq 3 \cdot 1 - 1 = 2$$

よって、$XYZ - XY - Z \geqq 2$ すなわち $XYZ \geqq XY + Z + 2$ が成り立つ。これと (1) の結果 $XY \geqq X + Y$ を用いると、

$$XYZ \geqq XY + Z + 2 \geqq (X + Y) + Z + 2 = X + Y + Z + 2$$

以上より、$2^{a+b+c} \geqq 2^a + 2^b + 2^c + 2$ が示された。（等号成立は $a=1, b=1, c=1$ のとき）

(3)

示すべき不等式は $XYZ \geqq XY + YZ + ZX - 4$ である。左辺と右辺の差をとり、次のように $Z$ について整理して変形する。

$$\begin{aligned} XYZ - (XY + YZ + ZX - 4) &= XYZ - XY - YZ - ZX + 4 \\ &= Z(XY - X - Y) - XY + 4 \end{aligned}$$

(1)より $XY - X - Y \geqq 0$ であり、また $Z \geqq 2$ であるから、

$$Z(XY - X - Y) \geqq 2(XY - X - Y)$$

が成り立つ。したがって、この不等式を用いて式全体を評価すると、

$$\begin{aligned} Z(XY - X - Y) - XY + 4 &\geqq 2(XY - X - Y) - XY + 4 \\ &= 2XY - 2X - 2Y - XY + 4 \\ &= XY - 2X - 2Y + 4 \\ &= (X - 2)(Y - 2) \end{aligned}$$

$X \geqq 2, Y \geqq 2$ より $X - 2 \geqq 0, Y - 2 \geqq 0$ であるから、$(X - 2)(Y - 2) \geqq 0$ となる。よって、

$$XYZ - (XY + YZ + ZX - 4) \geqq 0$$

となり、$2^{a+b+c} \geqq 2^{a+b} + 2^{b+c} + 2^{c+a} - 4$ が示された。（等号成立は $a=1, b=1, c=1$ のとき）