数学2 不等式の証明 問題 25 解説

方針・初手

不等式の証明の基本である「（右辺）－（左辺）$\geqq 0$」を示す方針をとる。 (1)では、差を計算して因数分解を行い、各因数の符号を調べる。 (2)では、(1)で証明した結果を繰り返し利用することで、スマートに証明できる。

解法1

(1)

（右辺）－（左辺）を計算する。

$$1 + 2^{a+b} - (2^a + 2^b) = 2^a \cdot 2^b - 2^a - 2^b + 1$$

$$= (2^a - 1)(2^b - 1)$$

条件より $a \geqq 0$, $b \geqq 0$ であるから、底が $2 > 1$ より $2^a \geqq 2^0 = 1$, $2^b \geqq 2^0 = 1$ となる。 すなわち、

$$2^a - 1 \geqq 0, \quad 2^b - 1 \geqq 0$$

したがって、

$$(2^a - 1)(2^b - 1) \geqq 0$$

ゆえに、$1 + 2^{a+b} - (2^a + 2^b) \geqq 0$ となり、

$$2^a + 2^b \leqq 1 + 2^{a+b}$$

が成り立つ。 （等号成立は $a=0$ または $b=0$ のときである）

(2)

$a, b, c$ は $0$ 以上の実数であるから、$a+b \geqq 0$ である。 したがって、(1)で示した不等式において、一方の変数を $a+b$、もう一方の変数を $c$ とみなすことができる。 (1)の不等式を適用すると、

$$2^{a+b} + 2^c \leqq 1 + 2^{(a+b)+c}$$

すなわち、

$$2^{a+b} + 2^c \leqq 1 + 2^{a+b+c}$$

この両辺に $1$ を加えると、

$$1 + 2^{a+b} + 2^c \leqq 2 + 2^{a+b+c} \cdots \text{①}$$

となる。 また、(1)の不等式 $2^a + 2^b \leqq 1 + 2^{a+b}$ の両辺に $2^c$ を加えると、

$$2^a + 2^b + 2^c \leqq 1 + 2^{a+b} + 2^c \cdots \text{②}$$

となる。 ①と②より、

$$2^a + 2^b + 2^c \leqq 1 + 2^{a+b} + 2^c \leqq 2 + 2^{a+b+c}$$

したがって、

$$2^a + 2^b + 2^c \leqq 2 + 2^{a+b+c}$$

が成り立つ。 （等号成立は、「$a=0$ または $b=0$」かつ「$a+b=0$ または $c=0$」のときである）

解説

(1)は $xy - x - y + 1 = (x-1)(y-1)$ という基本的な因数分解の形に帰着させるのがポイントである。指数関数の単調増加性から、変数が $0$ 以上であれば $2^x \geqq 1$ となることを利用して符号を判定する。

(2)は、(1)の結果を誘導として用いる典型的な問題である。(1)の形をよく見ると、「$2$つの累乗の和を、その指数の和の累乗を用いて上から評価できる」という構造になっている。変数が $3$つになった場合でも、$(a+b)$ を $1$つの文字とみなして(1)を再適用することで、容易に証明できる。

答え

(1) 差をとって因数分解することにより証明された。

(2) (1)の結果を繰り返し用いることにより証明された。