数学2 不等式の証明問題 28 解説

方針・初手

不等式に現れる $|x| \leqq 1$ という条件と $\sqrt{1-x^2}$ という式の形から、三角関数への置換を第一に考える。$x = \cos \alpha$ のようにおくことで、根号を外し、式全体を三角関数の公式を用いて簡潔な形に整理することができる。また、式をよく観察して直接平方完成を行い、ベクトルの内積の性質（コーシー・シュワルツの不等式）に帰着させる別解もある。

解法1

条件 $|x| \leqq 1$ および $|y| \leqq 1$ より、$0 \leqq \alpha \leqq \pi$、$0 \leqq \beta \leqq \pi$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ を用いて、$x = \cos \alpha, y = \cos \beta$ とおく。

このとき、$0 \leqq \alpha \leqq \pi$ において $\sin \alpha \geqq 0$ であるから、

$$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{\sin^2\alpha} = \sin\alpha$$

が成り立つ。同様に、$0 \leqq \beta \leqq \pi$ より $\sin \beta \geqq 0$ であるから、

$$\sqrt{1-y^2} = \sin\beta$$

となる。与えられた不等式の中辺を $P$ とおき、これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} P &= x^2 + y^2 - 2x^2y^2 + 2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \\ &= \cos^2\alpha + \cos^2\beta - 2\cos^2\alpha\cos^2\beta + 2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta \\ &= \cos^2\alpha(1 - \cos^2\beta) + \cos^2\beta(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta \\ &= \cos^2\alpha\sin^2\beta + \cos^2\beta\sin^2\alpha + 2(\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta) \\ &= (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)^2 \end{aligned}$$

括弧の中身は三角関数の加法定理より $\sin(\alpha + \beta)$ となるため、

$$P = \sin^2(\alpha + \beta)$$

と変形できる。

任意の実数 $\theta$ に対して $-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ であるから、その2乗をとると $0 \leqq \sin^2\theta \leqq 1$ が成り立つ。したがって、$\theta = \alpha + \beta$ とみなすことで、

$$0 \leqq \sin^2(\alpha + \beta) \leqq 1$$

となり、題意の不等式が成り立つことが示された。

解法2

不等式の中辺を $P$ とおき、代数的に変形して平方完成を行う。

$$\begin{aligned} P &= x^2 + y^2 - 2x^2y^2 + 2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \\ &= x^2(1 - y^2) + y^2(1 - x^2) + 2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \\ &= (x\sqrt{1-y^2})^2 + (y\sqrt{1-x^2})^2 + 2(x\sqrt{1-y^2})(y\sqrt{1-x^2}) \\ &= (x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})^2 \end{aligned}$$

$x, y$ は実数であり、条件 $|x| \leqq 1, |y| \leqq 1$ により根号の中身はそれぞれ $0$ 以上となる。したがって、$x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$ は実数である。実数の2乗は $0$ 以上であるから、

$$P \geqq 0$$

が成り立つ。

次に、$P \leqq 1$ を示すために、2つの平面ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ を次のように定める。

$$\vec{a} = (x, \sqrt{1-x^2}), \quad \vec{b} = (\sqrt{1-y^2}, y)$$

それぞれの大きさの2乗は、

$$\begin{aligned} |\vec{a}|^2 &= x^2 + (\sqrt{1-x^2})^2 = x^2 + 1 - x^2 = 1 \\ |\vec{b}|^2 &= (\sqrt{1-y^2})^2 + y^2 = 1 - y^2 + y^2 = 1 \end{aligned}$$

である。また、これらの内積は、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$$

となる。ベクトルの内積と大きさの関係式（コーシー・シュワルツの不等式）である $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leqq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ を用いると、

$$(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})^2 \leqq 1 \cdot 1 = 1$$

すなわち $P \leqq 1$ が導かれる。以上より、$0 \leqq P \leqq 1$ が示された。

解説

本問は変数の定義域と無理式の形から、三角関数への置換に気づけるかどうかが鍵となる。解法1のように置換を行えば、見慣れた加法定理の形が自然と現れ、論理の飛躍なく安全に証明を完遂できる。

一方、解法2のように代数的な変形だけで平方完成に持ち込むことも可能である。最初の2項と3項目の配分を $x^2 + y^2 - 2x^2y^2 = x^2(1 - y^2) + y^2(1 - x^2)$ と見抜くのはやや技巧的であるが、平方完成された後の形を見れば、コーシー・シュワルツの不等式（またはベクトルの内積）を適用する典型的な構図になっていることがわかる。