数学2 不等式の証明問題 30 解説

方針・初手

与えられた $2$ つの式の差をとり、その符号を調べることで大小関係を明らかにする。具体的には、$D = \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\} - f\left(\frac{x+y}{2}\right)$ とおき、$D$ と $0$ の大小を比較する。関数のグラフの凹凸（上に凸、下に凸）に関する性質を利用して解くことも可能である。

解法1

(1)

$D = \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\} - f\left(\frac{x+y}{2}\right)$ とおき、式を変形する。

$$D = \frac{1}{2} \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} + \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right) - \frac{a^{\frac{x+y}{2}} + a^{-\frac{x+y}{2}}}{2}$$

$$= \frac{1}{4} \left( a^x + a^{-x} + a^y + a^{-y} - 2a^{\frac{x+y}{2}} - 2a^{-\frac{x+y}{2}} \right)$$

項を並べ替え、平方の形を作る。

$$= \frac{1}{4} \left\{ \left( a^x - 2a^{\frac{x+y}{2}} + a^y \right) + \left( a^{-x} - 2a^{-\frac{x+y}{2}} + a^{-y} \right) \right\}$$

$$= \frac{1}{4} \left\{ \left( a^{\frac{x}{2}} - a^{\frac{y}{2}} \right)^2 + \left( a^{-\frac{x}{2}} - a^{-\frac{y}{2}} \right)^2 \right\}$$

実数の２乗は $0$ 以上であるから、$\left( a^{\frac{x}{2}} - a^{\frac{y}{2}} \right)^2 \geqq 0$ かつ $\left( a^{-\frac{x}{2}} - a^{-\frac{y}{2}} \right)^2 \geqq 0$ が成り立つ。

したがって、$D \geqq 0$ となるため、以下の大小関係が得られる。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(2)

$D = \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\} - f\left(\frac{x+y}{2}\right)$ とおき、対数の性質を用いて変形する。

$$D = \frac{1}{2} ( \log_a x + \log_a y ) - \log_a \frac{x+y}{2}$$

$$= \log_a \sqrt{xy} - \log_a \frac{x+y}{2}$$

真数について、相加平均と相乗平均の大小関係より、$x>0, y>0$ に対して $\frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$ が成り立つ。（等号成立は $x=y$ のとき）

両辺を正の数 $\frac{x+y}{2}$ で割ると、次が成り立つ。

$$0 < \frac{\sqrt{xy}}{\frac{x+y}{2}} \leqq 1$$

対数関数の底 $a$ の値によって大小関係が変わるため、場合分けを行う。

(i) $a > 1$ のとき

底が $1$ より大きいため、対数関数は単調増加となる。

$$\log_a \frac{\sqrt{xy}}{\frac{x+y}{2}} \leqq \log_a 1 = 0$$

よって、$D \leqq 0$ となり、以下の大小関係が得られる。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(ii) $0 < a < 1$ のとき

底が $1$ より小さいため、対数関数は単調減少となる。

$$\log_a \frac{\sqrt{xy}}{\frac{x+y}{2}} \geqq \log_a 1 = 0$$

よって、$D \geqq 0$ となり、以下の大小関係が得られる。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(3)

$D = \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\} - f\left(\frac{x+y}{2}\right)$ とおき、和積の公式 $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ を用いて変形する。

$$D = \frac{1}{2} ( \sin x + \sin y ) - \sin \frac{x+y}{2}$$

$$= \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} - \sin \frac{x+y}{2}$$

$$= \sin \frac{x+y}{2} \left( \cos \frac{x-y}{2} - 1 \right)$$

条件 $0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ および $0^\circ \leqq y \leqq 180^\circ$ より、$0^\circ \leqq \frac{x+y}{2} \leqq 180^\circ$ であるから、次が成り立つ。

$$\sin \frac{x+y}{2} \geqq 0$$

また、任意の実数について $\cos \frac{x-y}{2} \leqq 1$ であるから、次が成り立つ。

$$\cos \frac{x-y}{2} - 1 \leqq 0$$

これらより、$D \leqq 0$ となるため、以下の大小関係が得られる。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

解法2

関数のグラフの凹凸を利用して大小関係を導くこともできる。$y=f(x)$ のグラフ上の $2$ 点 $(x, f(x))$ と $(y, f(y))$ を結ぶ線分の中点の $y$ 座標が $\frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$ であり、それに対応する曲線上の点の $y$ 座標が $f\left(\frac{x+y}{2}\right)$ である。

(1)

$f(x) = \frac{1}{2}(a^x + a^{-x})$ を $x$ で $2$ 回微分する。

$$f'(x) = \frac{1}{2}(a^x \log a - a^{-x} \log a)$$

$$f''(x) = \frac{1}{2} \{ a^x (\log a)^2 + a^{-x} (\log a)^2 \} = \frac{(\log a)^2}{2} (a^x + a^{-x})$$

$a>0$ より $a^x > 0, a^{-x} > 0$ であるから、$a \neq 1$ のとき $f''(x) > 0$ となり、$f(x)$ は常に下に凸な関数である。（$a=1$ のときは $f''(x)=0$ となり $f(x)=1$ で等号成立）

下に凸な関数の性質より、線分は常に曲線の上側（または曲線上）にあるため、次が成り立つ。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(2)

$f(x) = \log_a x$ を $x$ で $2$ 回微分する。

$$f'(x) = \frac{1}{x \log a}$$

$$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \log a}$$

(i) $a > 1$ のとき

$\log a > 0$ より $f''(x) < 0$ となり、$f(x)$ は常に上に凸な関数である。上に凸な関数の性質より、次が成り立つ。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$\log a < 0$ より $f''(x) > 0$ となり、$f(x)$ は常に下に凸な関数である。下に凸な関数の性質より、次が成り立つ。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

(3)

$0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ の範囲において、$y = \sin x$ のグラフは常に上に凸である。

上に凸な関数の性質より、線分は常に曲線の下側（または曲線上）にあるため、次が成り立つ。

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geqq \frac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}$$

解説

関数の凸性と不等式（イェンゼンの不等式の $2$ 変数の場合）をテーマにした問題である。式変形のみで証明する場合は、平方完成、相加・相乗平均の関係、三角関数の和積公式といった各分野の基本手技が求められる。解法2のように、グラフの凹凸（第 $2$ 次導関数の符号）を根拠とすると見通しよく解答できる。(2)については、対数関数の底が $1$ より大きいか小さいかによる単調性（および凹凸）の違いを考慮した場合分けが必要になる点に注意したい。