数学2 不等式の証明問題 31 解説

方針・初手

(1) は与えられた方程式を因数分解して、解を具体的に求める。 (2) は (1) で実数解をもつことが示された2次方程式に対し、判別式を適用する。 (3) は (2) で得られた不等式の構造を利用し、文字を適切に置き換えることで証明を帰着させる。

解法1

(1)

与えられた $t$ についての方程式

$$(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0$$

の左辺を因数分解すると、

$$\{(at+x) + (bt+y)\}\{(at+x) - (bt+y)\} = 0$$

$$\{(a+b)t + (x+y)\}\{(a-b)t + (x-y)\} = 0$$

となる。

条件 $a^2 - b^2 > 0$ より $a^2 > b^2 \geqq 0$ であるから、$a \neq b$ かつ $a \neq -b$、すなわち $a-b \neq 0$ かつ $a+b \neq 0$ である。

したがって、$t$ についてのこの方程式は

$$t = -\frac{x+y}{a+b}, \quad -\frac{x-y}{a-b}$$

という2つの実数解をもつ。よって、示された。

(2)

(1) の方程式の左辺を展開して $t$ について整理すると、

$$a^2 t^2 + 2axt + x^2 - (b^2 t^2 + 2byt + y^2) = 0$$

$$(a^2 - b^2)t^2 + 2(ax - by)t + x^2 - y^2 = 0$$

となる。

条件より $a^2 - b^2 > 0$ であるため、これは $t$ についての2次方程式である。

(1) より、この2次方程式は実数解をもつため、判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ が成り立つ。

$$\frac{D}{4} = (ax - by)^2 - (a^2 - b^2)(x^2 - y^2) \geqq 0$$

これを変形して、

$$(ax - by)^2 \geqq (a^2 - b^2)(x^2 - y^2)$$

が成り立つ。よって、示された。

(3)

条件 $a^2 - b^2 - c^2 > 0$ より、

$$a^2 - b^2 > c^2 \geqq 0$$

であるから、$a^2 - b^2 > 0$ が成り立つ。したがって、(2) の結果を利用することができる。

(2) の不等式における $a, b, x, y$ を、それぞれ $\sqrt{a^2 - b^2}, c, \frac{ax - by}{\sqrt{a^2 - b^2}}, z$ に置き換えると、$(\sqrt{a^2 - b^2})^2 - c^2 = a^2 - b^2 - c^2 > 0$ であるから、(2) の前提条件を満たす。

これらを (2) の不等式に代入すると、

$$\left( \sqrt{a^2 - b^2} \cdot \frac{ax - by}{\sqrt{a^2 - b^2}} - c \cdot z \right)^2 \geqq \{ (\sqrt{a^2 - b^2})^2 - c^2 \} \left\{ \left(\frac{ax - by}{\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 - z^2 \right\}$$

すなわち

$$(ax - by - cz)^2 \geqq (a^2 - b^2 - c^2) \left\{ \frac{(ax - by)^2}{a^2 - b^2} - z^2 \right\}$$

が成り立つ。

一方、(2) の結果より $(ax - by)^2 \geqq (a^2 - b^2)(x^2 - y^2)$ であり、$a^2 - b^2 > 0$ であるから、両辺を $a^2 - b^2$ で割ると

$$\frac{(ax - by)^2}{a^2 - b^2} \geqq x^2 - y^2$$

両辺から $z^2$ を引いて

$$\frac{(ax - by)^2}{a^2 - b^2} - z^2 \geqq x^2 - y^2 - z^2$$

となる。

条件より $a^2 - b^2 - c^2 > 0$ であるから、この両辺に正の数 $a^2 - b^2 - c^2$ を掛けても不等号の向きは変わらず、

$$(a^2 - b^2 - c^2) \left\{ \frac{(ax - by)^2}{a^2 - b^2} - z^2 \right\} \geqq (a^2 - b^2 - c^2)(x^2 - y^2 - z^2)$$

が成り立つ。

以上から、

$$(ax - by - cz)^2 \geqq (a^2 - b^2 - c^2) \left\{ \frac{(ax - by)^2}{a^2 - b^2} - z^2 \right\} \geqq (a^2 - b^2 - c^2)(x^2 - y^2 - z^2)$$

となるため、

$$(ax - by - cz)^2 \geqq (a^2 - b^2 - c^2)(x^2 - y^2 - z^2)$$

が成り立つ。よって、示された。

解説

前の設問の結果を利用して次の設問を解く、典型的な誘導問題である。(1) において「実数解をもつ」という事実から判別式を引き出す発想が (2) の鍵となる。(3) では、(2) で証明した不等式を「2つの要素の差」に関する一般則とみなし、文字を塊として置き換えて適用する手法が有効である。