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数学2 多項式の割り算問題 9 解説

方針・初手

整式の割り算と剰余の定理についての典型的な問題である。割る式が2次式であるため、求める余りは1次以下の整式となる。余りを $ax+b$ （$a, b$ は実数）とおき、与えられた条件から $a, b$ についての連立方程式を導いて解く。

解法1

整式 $P(x)$ を2次式 $x^2-x-6$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおく。割り算の等式を立てると、次のように表される。

$$P(x) = (x^2-x-6)Q(x) + ax+b$$

ここで、$x^2-x-6$ は $(x+2)(x-3)$ と因数分解できるので、上式は次のように書き換えられる。

$$P(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + ax+b$$

問題の条件より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $3$ であるから、剰余の定理より以下の関係が成り立つ。

$$P(-2) = 3$$

先ほどの等式に $x = -2$ を代入すると、

$$-2a+b = 3 \quad \cdots (1)$$

が得られる。同様に、$P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $-1$ であるから、剰余の定理より以下の関係が成り立つ。

$$P(3) = -1$$

等式に $x = 3$ を代入して、

$$3a+b = -1 \quad \cdots (2)$$

が得られる。 (1) と (2) の連立方程式を解く。(2) から (1) の両辺を引くと、

$$5a = -4$$

$$a = -\frac{4}{5}$$

これを (1) の式に代入して $b$ を求める。

$$-2\left(-\frac{4}{5}\right) + b = 3$$

$$\frac{8}{5} + b = 3$$

$$b = \frac{7}{5}$$

したがって、求める余りは $ax+b$ に求めた値を代入して、$-\frac{4}{5}x + \frac{7}{5}$ となる。

解説

「整式を $n$ 次式で割った余りは、$n-1$ 次以下の整式になる」という整式の割り算の基本性質を用いる問題である。今回は2次式で割っているので、余りを $ax+b$ と設定することが最大のポイントである。また、割る式 $x^2-x-6$ が都合よく $(x+2)(x-3)$ と因数分解でき、それぞれの因数が問題文で与えられている「$x+2$ で割った余り」「$x-3$ で割った余り」に対応していることに気付けば、あとは剰余の定理を適用して連立方程式を解くだけの平易な問題である。