数学2 多項式の割り算問題 10 解説

方針・初手

(1) は因数定理を利用する。整式 $f(x)$ が $x+1$ で割り切れることから、$f(-1) = 0$ が成り立つことを用いて定数 $a$ の値を求める。

(2) は剰余の定理（割り算の等式）を利用する。割る式が2次式 $x^2 - 1$ であるため、求める余りは1次以下の整式となる。余りを $px+q$ とおき、$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ と因数分解できることから、$x=1$ および $x=-1$ を代入して連立方程式を立てる。

解法1

(1) $f(x) = x^n + 2x^{n-1} - a$ が $x+1$ で割り切れるので、因数定理より $f(-1) = 0$ である。

$$f(-1) = (-1)^n + 2(-1)^{n-1} - a = 0$$

ここで、$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ であるから、

$$(-1)^n - 2(-1)^n - a = 0$$

$$-(-1)^n - a = 0$$

よって、$a$ の値は次のように求まる。

$$a = -(-1)^n$$

（あるいは $a = (-1)^{n-1}$ と表してもよい。）

(2) $f(x)$ を2次式 $x^2 - 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $px + q$ （$p, q$ は定数）とおくと、次の等式が成り立つ。

$$f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + px + q$$

$$f(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + px + q$$

(1) より $f(-1) = 0$ であるから、両辺に $x = -1$ を代入すると、

$$f(-1) = -p + q = 0$$

よって $q = p$ である。

また、両辺に $x = 1$ を代入すると、

$$f(1) = p + q = 2p$$

一方、$f(x)$ のもとの式に $x = 1$ を代入すると、

$$f(1) = 1^n + 2 \cdot 1^{n-1} - a = 3 - a$$

ここで、(1) で求めた $a = -(-1)^n$ を代入すると、

$$f(1) = 3 - \{-(-1)^n\} = 3 + (-1)^n$$

これらが等しいので、

$$2p = 3 + (-1)^n$$

$$p = \frac{3 + (-1)^n}{2}$$

$q = p$ であるから、

$$q = \frac{3 + (-1)^n}{2}$$

したがって、求める余りは次のようになる。

$$\frac{3 + (-1)^n}{2} x + \frac{3 + (-1)^n}{2}$$

解説

整式の割り算における因数定理および剰余の定理を用いる基本的な問題である。

(1) では $(-1)^n$ と $(-1)^{n-1}$ の関係を正しく処理し、式を整理することが求められる。

(2) では、2次式で割った余りが1次以下の式になるという原則に従って $px+q$ と設定し、割る式が $(x+1)(x-1)$ と因数分解できることを利用して $x=1, -1$ を代入する定石に沿えばよい。なお、答えは $n$ の式を用いて一つにまとめて表記したが、$n$ が偶数のときの余りは $2x+2$、$n$ が奇数のときの余りは $x+1$ となるため、偶奇で場合分けをして答えても正解である。