数学2 多項式の割り算 問題 11 解説

方針・初手

割る式が因数分解できることに着目し、剰余の定理を利用する。除法の原理 $A = BQ + R$ に従って立式し、代入によって余りの係数を決定する。

解法1

整式 $f(x)$ を $x^2+4x-5$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると、条件より

$$f(x) = (x^2+4x-5)Q_1(x) + 4x - 3$$

$$f(x) = (x+5)(x-1)Q_1(x) + 4x - 3 \cdots \text{①}$$

同様に、整式 $f(x)$ を $2x^2-x-1$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ とすると、条件より

$$f(x) = (2x^2-x-1)Q_2(x) + 5x - 4$$

$$f(x) = (2x+1)(x-1)Q_2(x) + 5x - 4 \cdots \text{②}$$

剰余の定理より、$f(x)$ を $x+5$ で割った余りは $f(-5)$ である。①より

$$f(-5) = 4 \cdot (-5) - 3 = -23$$

よって、$f(x)$ を $x+5$ で割った余りは $-23$ である。

次に、$f(x)$ を $2x^2+11x+5$ で割った余りを求める。 $2x^2+11x+5 = (2x+1)(x+5)$ であり、2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、$ax+b$（$a, b$ は定数）とおける。 このときの商を $Q_3(x)$ とすると

$$f(x) = (2x+1)(x+5)Q_3(x) + ax + b \cdots \text{③}$$

③に $x = -5, x = -\frac{1}{2}$ をそれぞれ代入すると

$$f(-5) = -5a + b$$

$$f \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2}a + b$$

先ほど求めたように $f(-5) = -23$ である。また、②より

$$f \left( -\frac{1}{2} \right) = 5 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) - 4 = -\frac{13}{2}$$

したがって、次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} -5a + b = -23 \\ -\frac{1}{2}a + b = -\frac{13}{2} \end{cases}$$

この連立方程式を解くと

$$a = \frac{11}{3}, \quad b = -\frac{14}{3}$$

よって、求める余りは $\frac{11}{3}x - \frac{14}{3}$ である。

解説

整式の除算に関する基本的な問題である。「割る式を因数分解する」「余りの次数は割る式の次数より小さくなるように設定する」「剰余の定理（または除法の原理の式への代入）を用いる」という定石通りに進めれば解答に行き着く。 $2x^2+11x+5$ で割る場合、これが $(2x+1)(x+5)$ と因数分解できることに気付けば、$x=-5$ と $x=-1/2$ を代入して連立方程式を作ればよいと分かる。それぞれの値は、与えられた2つの条件から過不足なく得ることができる。

答え

$x+5$ で割った余り: $-23$

$2x^2+11x+5$ で割った余り: $\frac{11}{3}x - \frac{14}{3}$